定积分证明题方法总结(精选2篇)
定积分证明题方法总结篇1
一、不定积分计算方法
1.凑微分法
2.裂项法
3.变量代换法
1)三角代换
2)根幂代换
3)倒代换
4.配方后积分
5.有理化
6.和差化积法
7.分部积分法（反、对、幂、指、三）
8.降幂法
二、定积分的计算方法
1.利用函数奇偶性
2.利用函数周期性
3.参考不定积分计算方法
三、定积分与极限
1.积和式极限
2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限
3.洛必达法则
4.等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用
1.不计算积分，比较积分值的大小
1)比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有
f(x)>=g(x),则>=()dx
2)利用被积函数所满足的不等式比较之a)
b)当0 2.估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a)<=<=M(b-a) 3.具体函数的定积分不等式证法 1)积分估值定理 2)放缩法 3)柯西积分不等式 ≤% 4.抽象函数的定积分不等式的证法 1)拉格朗日中值定理和导数的有界性 2)积分中值定理 3)常数变易法 4)利用泰勒公式展开法 五、变限积分的导数方法 1、经验总结 (1)定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dxaabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dxaaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dxaac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xini=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x)ba 一、原函数 定义1如果对任一xI，都有 F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx 则称F(x)为f(x)在区间I上的原函数。 例如：(sinx)cosx，即sinx是cosx的原函数。[ln(xx2) 原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定有原函数，即存在区间I上的可导函数F(x)，使得对任一xI，有F(x)f(x)。 注1：如果f(x)有一个原函数，则f(x)就有无穷多个原函数。 设F(x)是f(x)的原函数，则[F(x)C]f(x)，即F(x)C也为f(x)的原函数，其中C为任意常数。 注2：如果F(x)与G(x)都为f(x)在区间I上的原函数，则F(x)与G(x)之差为常数，即F(x)G(x)C（C为常数） 注3：如果F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)C（C为任意常数）可表达f(x)的任意一个原函数。 1x2，即ln(xx2)是1x2的原函数。 二、不定积分 定义2在区间I上，f(x)的带有任意常数项的原函数，成为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)dx。 如果F(x)为f(x)的一个原函数，则 f(x)dxF(x)C，（C为任意常数） 三、不定积分的几何意义 图5—1设F(x)是f(x)的一个原函数，则yF(x)在平面上表示一条曲线，称它为f(x)f(x)的不定积分表示一族积分曲线，它们是由f(x)的某一条积分曲线沿着y轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x的点处有互相平行的切线，其斜率都等于f(x)． 在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式yF(x)C，再从中确定一个满足条件y(x0)y0(称为初始条件)的原函数yy(x)．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点(x0,y0)的积分曲线． 四、不定积分的性质（线性性质） [f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx k为非零常数）kf(x)dxkf(x)dx（ 五、基本积分表 ∫adx=ax+C，a和C都是常数 ∫x^adx=[x^(a+1)]/(a+1)+C，其中a为常数且a≠-1∫1/xdx=ln|x|+C ∫a^xdx=(1/lna)a^x+C，其中a>0且a≠1 ∫e^xdx=e^x+C ∫cosxdx=sinx+C ∫sinxdx=-cosx+C ∫cotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+C ∫tanxdx=-ln|cosx|+C=ln|secx|+C ∫secxdx=ln|cot(x/2)|+C =(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C =-ln|secx-tanx|+C=ln|secx+tanx|+C ∫cscxdx=ln|tan(x/2)|+C =(1/2)ln|(1-cosx)/(1+cosx)|+C =-ln|cscx+cotx|+C=ln|cscx-cotx|+C ∫sec^2(x)dx=tanx+C ∫csc^2(x)dx=-cotx+C ∫secxtanxdx=secx+C ∫cscxcotxdx=-cscx+C ∫dx/(a^2+x^2)=(1/a)arctan(x/a)+C ∫dx/√(a^2-x^2)=arcsin(x/a)+C ∫dx/√(x^2+a^2)=ln|x+√(x^2+a^2)|+C ∫dx/√(x^2-a^2)=ln|x+√(x^2-a^2)|+C ∫√(x^2-a^2)dx=(x/2)√(x^2-a^2)-(a^2/2)ln|x+√(x^2-a^2)|+C∫√(x^2+a^2)dx=(x/2)√(x^2+a^2)+(a^2/2)ln|x+√(x^2+a^2)|+C∫√(a^2-x^2)dx=(x/2)√(a^2-x^2)+(a^2/2)arcsin(x/a)+C 六、第一换元法（凑微分） 设F(u)为f(u)的原函数，即F(u)f(u)或f(u)duF(u)C如果u(x)，且(x)可微，则dF[(x)]F(u)(x)f(u)(x)f[(x)](x)dx 即F[(x)]为f[(x)](x)的原函数，或 f[(x)](x)dxF[(x)]C[F(u)C]u(x)[f(u)du]因此有 定理1设F(u)为f(u)的原函数，u(x)可微，则 f[(x)](x)dx[f(u)du] 公式(2-1)称为第一类换元积分公式。u(x)u(x)(2-1) f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)[f(u)du]u(x) 1f(axb)d(axb)1[f(u)du]f(axb)dxuaxb定积分证明题方法总结篇2
