数学中的分析法(精选8篇)

数学中的分析法篇1

1相似三角形规律

例1如图1所示，L为薄凸透镜，点光源S位于L的主光轴上，它到L的距离为36 cm；M为一与主光轴垂直的挡光圆板，其圆心在主光轴上，它到L的距离为12 cm；P为光屏，到L的距离为30 cm、现看到P上有一与挡光板同样大小的圆形暗区ab、求透镜的焦距、

分析求透镜的焦距，利用透镜成像公式需要知道物距和像距，物距u=36 cm，像距则需要根据题目条件来确定、光屏上的暗区是由于挡光圆板挡住部分光线而形成的、画出点光源S经过挡光圆板边缘后射到屏上的光路图，可以发现光线SCH可能落在a点也有可能落在b点，所以本题要分两种情况讨论、

情况一光线SCH经过凸透镜折射后落在a点，则像点为S1′，设CC1′=r，SCC1′与SOH相似

联立（1）、（2）得v1=90 cm、

由成像公式SX（]1]uSX）]+SX（]1]v1SX）]=SX（]1]f1SX）]，

将u=36 cm，v1=90 cm代入得f1=25、7 cm、

情况二光线SCH经过凸透镜折射后落在b点，则像点为S2′，

SCC1′与SOH相似，

联立（3）、（4）得v2=18 cm、

由成像公式SX（]1]uSX）]+SX（]1]v2SX）]=SX（]1]f2SX）]，

总结相似三角形的规律通常运用在涉及平面镜、凸透镜、凹透镜成像中、一般的处理方法为：画出光线图，找出临界光线，寻找三角形的关系、

2三角函数的规律

例2如图3所示，用折射率n=KF（]2KF）]的玻璃做成内径为R，外径为R′=KF（]2KF）]R的半球形空心球壳，一束平行光射向此半球的外表面，与中心对称轴OO′平行，试求：（1）球壳内部有光线射出的区域；（2）要使球壳内部没有光线射出，至少用多大的遮光板，如何放置才行？

分析（1）沿O′O射入的光线一定能射出，离O′O越远则偏折越明显，找出恰好发生全反射的临界光线，画出临界

光线的光路图、设临界光线与外壳交于A，出球壳点为B，进入外壳的入射角为i，折射角为γ，离开内径时入射角为α、

当sinα=SX（]1]nSX）]=SX（]1]KF（]2KF）]SX）]，即α=45°时，光线恰好不能射出、要求∠BOO′=θ+i，先要算出角θ，在ABO中，已知两条边，一个角，可以利用正弦定理，列出

得θ=15°、

所以i=45°、

所以∠BOO′=θ+i=15°+45°=60°，

也就是说与O′O夹角范围在60°以内的光线可以射出、

（2）r=KF（]2KF）]R×sini=KF（]2KF）]・SX（]KF（]2KF）]]2SX）]R=R、

所以用一个半径为R的遮光板，垂直于O′O放置、

拓展本题若将空心球壳改为实心的半球形的玻璃体，则情况又如何？

分析仍然画出临界光线光路图

利用三角函数的两角和差公式，展开得

所以全部的光线都可以射出、

总结三角函数的利用通常出现在折射定律的应用的习题上，往往出现两次折射现象、这需要同学们掌握当光路图画好之后，出现的角和边的条件比较琐碎时，能正确地分析角和边的关系，利用正弦定理、余弦定理、三角函数的和差公式、倍角、半角公式等，解出我们需要的角度或边、

3灵活寻找几何关系

例3如图6所示，一束截面为圆形（半经为R）的平行复色光垂直射向一玻璃半球的平面，经折射后在屏幕S上形成一个圆形彩色亮区、已知玻璃半球的半径为R，屏幕S至球心的距离为D（D>3R），不考虑光的干涉和衍射，试问：

（1）在屏幕S上形成的圆形亮区的最外侧是什么颜色？

（2）若玻璃半球对（1）中色光的折射率为n，请你求出圆形亮区的最大半径、

分析（1）不同颜色的光对应光的折射率不同，紫光最大，临界角最小，红光最小，临界角最大、画出这两条临界光线，比较距离中心轴的距离、

从作图可以看出：

若D>BB′至球心的距离，则紫光位于最外侧；

若D

若屏幕在AA′与BB′之间，则中心轴两侧光线出现重合，情况比较复杂、

本题题设中交代（D>3R），我们把它当做第一种情况考虑，则紫光位于最外侧、是不是一定这样呢？我们再结合第二问的结论讨论、

（2）方法一：如图8，紫光刚要发生全反射时的临界光线射在屏幕S上的点H到亮区中心G的距离r就是所求最大半径、设紫光临界角为C，由全反射的知识可知：

OEF与FGH相似，

代入（2），得HG=DKF（]n2-1KF）]-nR、

方法二临界角仍然满足sinC=SX（]1]nSX）]，

过E点做一条垂直于OG的辅助线IE，

讨论：若屏S的位置在AA′以下，则HG

即HG=DKF（]n2-1KF）]-nR

玻璃对有色光的折射率为1、5～1、9，n

反思本题涉及的光学知识不难，只有一个临界角的判断，但是学生在做这道题时错误率很高、原因是不少学生不善于寻找边长之间的关系，找出彼此的联系，必要时增添辅助线帮助解题、灵活寻找几何关系，简单的说就是寻找角度的关系和长度的关系，不仅在几何光学中应用广泛，在涉及洛伦兹力的计算时应用也相当广泛、

4巧妙利用辅助圆

例4一半圆柱形透明物体横截面如图10所示，底面AOB镀银（图中粗线）， O表示半圆截面的圆心，一束光线在横截面内从M点入射，经过AB面反射后从N点射出、已知光线在M点的入射角为30°，∠MOA=60°，∠NOB=30°、求：（1）光线在M点的折射角；（2）透明物体的折射率、

分析要求出在M点的折射角，要将光路图画出来， 然后找出角度关系、

方法一入射光线在AOB上反射，与入射光有对称性，想到将半圆柱补成一个圆，利用圆的特征来解题、Q为M点的对称点，Q、P、N三点共线、

设在M点处，光的入射角为i，折射角为θ，

根据题意有α=30°，β=60°、

由于对称性，可知

又因为OQ=ON，

所以∠PQO=∠PNO=θ，

由于对称性∠EMP=∠PNF，

方法二：由几何关系可得

（2）同方法一、

数学中的分析法篇2

1微分学原理、方法在中学数学中的应用

在中学数学中,要作出函数的图形,除了利用极易判断出来的函数的单调性以及可明显看出的一些极值点等性质外,最主要的还是依靠描点法作函数的图形，如此作出的图形究竟是不是该函数的真正图形是无法肯定的。而在数学分析中，利用导数判断出函数的单调性、凹凸性,求出极值点和拐点,再利用极限求渐近线，就能精确地画出函数的草图,所以可用微分学原理和方法指导中学数学教学。

(1)讨论函数的单调性中学数学讨论函数的单调性一般只能根据定义,计算很繁琐,对某些函数甚至无法判别,而根据微分学中严格单调的充分条件的定理“若/\对乂?(a,b),有f(X>0威f(X<0),则函数f(X在(a,b内严格增加或严格减少)。”则可使解法简化,并能使问题得以深化和拓展。

(2证明不等式。不等式在中学数学中占据着重要地位,这体现于它在解方程（如解不定方程、三角方程、对数方程等)和有关函数的问题、三角证明题、极值、条件极值、几何证明题等诸方面的应用。不等式的证明方法多种多样,没有一个统一的模式。初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式,其中进行巧妙的恒等变形,形成非负的项或者凑成可利用的重要不等式洳Vb等)是极有生命力和创造力的方法,但这里往往要有较高的技巧。利用微分中值定理、函数的单调性、定积分的性质等有关知识,可使不等式的证明过程大大简化。

2积分法原理和方法在中学数学中的应用

积分学是由不定积分和定积分两部分组成，不定积分是从逆运算的角度把积分看作微分的逆运算而定义的。而定积分是从极限的角度把定积分看作是特殊类型的极限加以定义的,这两类积分从定义形式上看截然不同，但Newton-Leibniz的微积分基本定理揭示了它们的内在联系，使得求一个和式极限这个相当困难的定积分问题转化为通过求不定积分来加以解决,从而使两者成为不可分割的整体,在理论和应用上取得了长足的发展。单从数学分析来看,定积分不仅对求面积、弧长、体积、近似计算等问题十分有用,而且与数学分析的另-组成部分--级数之间建立了联系。

定积分除具有具体应用的优势外，更具有方法上的指导意义。在中学数学中，对一些规则平面图形或空间立体的面积、体积和表面积给出计算的公式,但其中相当一部分公式无法给出推导的方法，在研究体积计算问题时常用的一个重要定理--祖暅定理也只能当作公理介绍，并由它以及长方体的体积公式推出柱、锥、台、球等体积公式。而在数学分析中,有关面积、体积的计算完全可利用积分或重积分精确地计算出来,祖WS定理、柱、锥、台、球等体积公式只须用定积分的定义便可简捷地给出证明。中学数学教师有了数学分析作为工具,在遇到有关面积、体积的计算问题时,可先用数学分析的方法求出解答,这为选择适当的教学方法指明了方向。

3级数理论在中学数学中的应用

级数理论同样是数学分析中的一个重要内容，利用函数的级数展开式可进行近似计算，中学数学用表中的三角函数表、常用对数表等均是利用级数理论求出其近似值来制作。中学教师具备了这些知识后，在日常教学中就不但能教学生如何查表,还可说明造表的理论依据,激发学生学习数学的兴趣。另外,还可用于讲一些常数如数e,数+)的超越性等,为开展中学数学课外活动提供素材。

数学中的分析法篇3

关键词：合作学习法；小学数学；应用分析

【中国分类号】G623、5

合作学习法在小学数学中的应用，主要是指数学老师将班级学生分层若干个小组，然后有教师分配制定学习任务交给各个学习小组完成，在各个学习小组内学生之间要进行彼此分工，发挥相互协作的功能，最终在和谐宽松的学习氛围内完成老师布置的学习内容。基于此，文章主要谈论了合作学习法在小学数学中的应用，以及存在的一些问题和具体实施方法。

1、当前合作学习法在小学数学中的主要问题

合作学习法在小学数学中应用，虽然取得了很好的教学效果，但是也存在一些主要问题，文章从合作学习法在小学数学中的时间应用出发，浅谈一下实践过程学习中存在的主要问题。

1、1小组合作学习随意性较大

目前合作学习法在小学数学中应用，突出表现为小组合作学习随意性较大，老师并未进行有效的引导。在目前的小组合作学习中，其随意性主要表现出，所选的数学内容随意，设置的数学完成目标随意，对于同学彼此之间的交流与合作也相当随意。这种随意性并未给学生学习带来有利影响，相反会阻碍整个数学课堂的进度，无法提高小学数学教学的实效性。另一方面还会造成学生之间彼此合作协助学习的时间较短，彼此之间对于设置的数学内容未进行有效沟通与交流，使得合作学习法利于形式，达不到数学教学的预期效果。

1、2教师发挥的作用不够突出

在小学数学中充分利用合作学习法进行教学，教师担当的是参与者、引导者和帮助者的角色，应在合作学习中给予学生充分鲜明的指导帮助，使得班级内合作学习的氛围浓厚。但是在实际学习中，教师对自己的角色认识度达不到，且所起的作用还不够突出。主要表现为教师一方面过于关注学生的操作与选择，给学生合作学习的内容设置的太过具体，或老师对于学生合作学习要完成的数学目标过于着重讲解和演示；另一方面老师并未在学生合作学习的过程中，发挥出自己的指导与引导作用，使得合作学习的意义并未有效发挥，对合作学习的效果和教学目标造成一定影响。

1、3学生的参与度不高

当前合作学习法在小学数学应用中，存在的另一个问题是学生对于合作学习的参与热情不高。这主要是因为学生之间合作探究学习的时候，对于学习责任并未进行明确分工，对于各自的角色并未明确界定。有的学生自己不参与也是一样，一些学生干脆不发表言论，虽然参与到了数学的学习合作中，但并未表现出参与热情，在这个时候，需要数学教师的正确鼓励与引导。

2、合作学习法在小学数学应用中应加强的对策

在小学数学的教学过程中，要想发挥出合作学习法的重要作用，就要考虑一下几个要素：

1）学生之间的合作学习，确立的研究目的与对象必须保持统一水平。

2）应完善合作学习的机制和提高集体参与的意识，这主要是指在合作学习的过程中，合理的任务分配、严明的学习纪律和明确的责任分工，是充分调动学生合作学习积极性的保证，也是保证合作学习顺利展开的保证。

3）教师在学生学习合作过程中，进行适当正确的引导。比如学生要服从小组组长的安排，一方面是组内合作学习的力量统一，另一方面容易发挥出组内每个人的作用。

4）在合作学习过程中，建立良好的沟通与写作能力。让学生彼此间进行合作学习，其主要目的就是促进彼此间的信息交流，实现数学资源共享，从而促进整个班级学习能力的提高。

2、1明确学习任务

在学生进行合作学习的过程中，教师应对学习研究任务予以明确，进行有效的指导，给学生留下精心准备和展开自由谈论的空间。此外，对于设置的学习研究内容，要符合学生实际学习水平，在以促进学生能力提高的前提下，选择趣味性、探索性和价值性的学习任务。

2、2组内成员要进行明确分工

在小学数学教学中，进行合作学的过程中，一般一个小组内成员6到8人最为合适，其中要对每个人进行不同角色的分工，例如组长，记录员，汇报员和观察员等等。一二年级的小学生在进行合作学习的时候，数学教师可帮助完成；四五年级的小学生，应该在合作学习中培养自己的协助能力和选择分配能力。

2、3案例分析

例如在证明“三个圆锥的体积等于圆柱体积”这道题的时候，老师可以要求学生：

1）第一排的五个学生取水进行轮流实验，以此类推。

2）做实验时要用到学具中圆锥与圆柱。

3）进行实验的时候是五个同学一个小组进行，没有轮到学生要仔细观察。

4）当前面完成实验证明的学生回到座位时，还有挑战纸（关于实验任务的一些问答）上的内容要完成，还是五个人一个小组进行自由谈论。

挑战者问答题：

1）任意的圆柱和圆柱都有体积相等的关系吗？

2）在什么样的条件下，圆柱与圆锥才可以体积相等？

3）通过这次实验，你认为三个圆锥的体积是否等于圆柱体积，为什么？

通过实验任务设置，让学生按小组有序进行实验探究，学生可以根据组内需要，对学生角色进行明确分工。整个实验探究的过程，保持时间在8分钟左右吗，做完实验探究的小组，要对挑战纸上的问答题进行自由谈论和确定答案。

分析如下：

此次试验探究任务，充分运用了合作学习法，在实际操作中，学生之间相互协作，在进行实验问答时，学生之间又有不同意见的交流。此外，还有助于学生积极参与进数学学习中，通过这种合作学习方式，加深对数学知识的理解，活跃了数学课堂学习氛围。

3、结语

随着合作学习法在小学数学中深入应用，其在学生的数学学习过程中也发挥着十分重要的作用。只有深入了解合作学习法的精髓与内涵，才能使合作学习法更好的服务于小学数学。

参考文献：

[1]李国建、引导学生在小组合作学习中有效交流的策略[J]、教育实践与研究(A)、2011(09)

数学中的分析法篇4

关键词：结构分析法;数学;教法;学法;运用

中图分类号：G712 文献标识码：A 文章编号：1005-1422（2015）02-0064-03

收稿日期：2015-01-20

作者简介：陈海滨（1967-），男，广东省梅州农业学校讲师，大学本科。研究方向：数学教育。（广东 梅州/514011）

在数学的教学活动中，教师往往侧重于“教法”的积极探索而忽视对学生的“学法”的研究指导，造成整个教学过程脱节。于是，出现一个怪现象：课上教师尽所能、展才智充分调动学生积极性、激发学习兴趣，学生听得懂，叫好，而课后学生复习、练习、作业、考试时又感到不理解、不会做、考不好，叫苦，只开花不结果。那么怎样才能使“教法”寓于“学法”，“学法”源于“教法”，将二者有机地结合起来，既开花又结果呢？这就要求教师要从不同的角度全方位地进行教学设计。笔者认为，教师是导演――统揽全局，也是演员――把握精辟，还是观众――期待效果。从教师的角度“导”出“教法”;从学生的角度“演”出“学法”;从家长的角度“观”出效果。正是本着这样的理念，经过多年的教学积累探索出一种教与学的通用之法――结构分析法。经过多年的实践检验表明，此法特别适合代数教学。本文就以代数教学为例进行阐述。

所谓的“结构分析法”就是依据数学的换元思想，通过观察分析数学概念、公式、法则等数学知识结构形式的特点，对其结构形式进行分解――确定“可变”与“不变”两个部分，用中括号[ ]代替“可变部分”找出规律，揭示出其本质特征，从而深刻地理解其内涵，灵活地掌握和运用数学知识解决问题，提高教学效率的一种方法。

一、结构分析法在数学“教”的过程中的运用

（一）在数学概念教学方面的运用

例1、“函数概念”的教学分析。

函数是数学中十分重要的概念，是数学各个分支理论的重要基础之一，在各个领域都有着广泛的应用。由此可见，深刻地理解函数概念是至关重要的。然而，学生普遍感到较难理解“函数概念”，尤其是对用抽象符号：“y=f（x）”表示函数的理解感到一头雾水。现在就从这里入手，运用“结构分析法”进行分析。

观察，函数y=f（x）的结构形式进行如下分析：

这样，学生容易片面地理解函数的概念：误认为x就是自变量，y就是因变量，而解析式表示的就是函数。缺乏对函数概念的深层次地理解，导致在学习过程中遇到有关函数问题时，就问题多多。

现在，我们对上述结构形式进行分解，确定“可变”部分为x和y所在的位置，余者不变。用中括号[ ]代替“可变”部分――x和y所在的位置，就不难发现对于一个确定的函数，无论是具体的还是抽象的都可以理解如下：

显然，在函数的构成要素中，最重要的是函数的定义域和对应法则，最难理解的就是“对应法则”（不变部分）。事实上，对于一个确定的函数其对应法则是不变的、抽象的。

现在，通过几个例子加以说明如何运用结构分析法揭示出对应法则的本质特征。

例如，二次函数f（x）=3x2+2x+1的对应法则f的本质特征是：f[ ]=3×[ ]2+2×[ ]+1

函数值：当x=2时，有f（2）=3×22+2×2+1=17

当x=t时，有f（t）=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1

对应法则f：[ ]内取2，则有f[2]=3×[2]2+2×[2]+1=3×22+2×2+1=17

[ ]内取t，则有f[t]=3×[t]2+2×[t]+1=3×t2+2×t+1=3t2+2t+1

显然，f（2）=f[2]，f（t）=f[t]

再如，复合函数g（x）=lg（3 x2+2x）的对应法则g的本质特征是：g[ ]=lg（3×[ ]2+2×[ ]）

函数值：当x =2时，有g（2）=lg（3×22+2×2）=4lg2

当x=t时，有g（t）=lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）

对应法则g：[ ]内取2，则有g[2]=lg（3×[2]2+2×[2]）=lg（3×22+2×2）=4lg2

[ ]内取t，则有g[t]=lg（3×[t]2+2×[t]）= lg（3×t2+2×t）= lg（3t2+2t）

显然，g（2）= g[ 2 ]， g（t）= g[t]

这就说明了对应法则的本质是理解时抽象而运用时又具体的一种对应关系。学生就容易理解函数f（t）=3t2+2t+1与函数f（x）=3x2+2x+1是同一个函数;函数g（x）=lg（3x2+2x）与函数g（t）=lg（3t2+2t）也是同一个函数。自然认同x、y只是一个记号，习惯用之而已。从而更加容易理解“每一个函数都有其对应法则，并且每一个自变量的取值按其对应法则都有唯一的因变量的值与之对应”的内涵。这样，使学生通过“抽象――具体――抽象”的认识过程，进而深刻地理解函数概念的内涵。

像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其复合函数，还有抽象函数等函数概念都可以运用“结构分析法”进行数学概念教学，使学生更加容易把握数学概念的本质特征，提高教学效果。

（二）在数学公式教学方面的运用

例2、三角函数中“诱导公式”的教学分析。

常用的诱导公式有9组36个公式，若要求学生死记硬背难度大且用时易错，用“结构分析法”教学，可以概括出“口诀”，易记、好用、准确。

诱导公式中角的形式有9种：“2kπ±α（k∈Z），π±α，0-α，π2±α，3π2±α”。 观察分析这9种角的结构形式发现：“2kπ，π，0”角的终边都在横轴上;“π2，3π2”角的终边都在纵轴上。

（因篇幅所限，选几组加以分析）

sin（π±α）=sinα

cos（π±α）==cosα

tan（π±α）=±tanα

cot（π±α）=±cotα公式（一）

可变部分“±”， 余者不变

sin（3π2±α）==cosα

cos（3π2±α）=±sinα

tan（3π2±α）=cotα

cot（3π2±α）=tanα

公式（二）

可变部分“±”、“名称”， 余者不变

sin（π±α）=[ ]sinα

cos（π±α）=[ ]cosα

tan（π±α）=[ ]tanα

cot（π±α）=[ ]cotα

sin（3π2±α）=[ ][ ]α

cos（3π2±α）=[ ][ ]α

tan（3π2±α）=[ ][ ]α

cot（3π2±α）=[ ][ ]α

首先，确定函数“名称”的变化规律。

观察分析公式（一）、公式（二）两边的函数名称发现：公式（一）名称不变，且π角的终边在横轴上，公式（二）名称改变，且3π2角的终边在纵轴上，由此概括出函数“名称”的变化规律：“纵变横不变”。

其次，确定“±” 符号变化规律。

观察分析公式（一）、公式（二）两边的函数值符号发现：等式左边的函数值符号都是正的，而等式右边的函数值符号是变化的，若把α看成是锐角时就会发现：由“π±α，3π2±α”角的终边所在的象限确定的函数值符号排布规律与右边函数值符号排布规律一致，这说明右边的函数值“符号”是由左边的“π±α，3π2±α”角的终边所在的“象限”确定的函数值符号排布规律决定的。由此可以概括出符号变化规律：“符号看象限”。

这样，可以得到诱导公式的口诀为：“纵变横不变，符号看象限”。

例3、三角函数中“二倍角公式”的教学分析。

许多数学公式在理解和运用时，学生常常忽视它们内在成立的“条件”或者运用的“条件”，而片面地理解数学公式，导致用时易错、缺乏灵活性。若用“结构分析法”教学，则可以使学生深刻理解公式的内涵，提高灵活运用的能力。

以“二倍角公式”的教学为例进行分析：

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos2α-sin2α

=1-2sin2α

=2cos2α-1

tan2α=2tanα1-tan2α

可变部分“2α，α”

sin[ ]=2sin[ ]cos[ ]

cos[ ]=cos2[ ]-sin2[ ]

=1-2sin2[ ]

=2cos2[ ]-1

tan[ ]=2tan[ ]1-tan2[ ]

观察分析上述公式的结构形式发现“可变部分”是2α，α，余者“不变”，从而揭示出公式成立的“条件”：左边角的“形式”是右边角的“形式”的二倍，公式成立，反之亦然。于是，可以得到许多常用的结论：

如：sinα=2sinα2cosα2sinα2cosα2=12sinα;

sin2α=1-cos2α2 （降幂扩角公式）;

sinα2=±1-cosα2 （半角公式）

等等，这些在求三角函数的周期、最值等问题时常用。

由此看来，运用“结构分析法”进行数学公式教学，更加容易抓住数学公式的本质特征。若能概括出“口诀”，揭示出“条件”，就会使学生对数学公式的深刻理解和灵活掌握得到很大程度的提高，从而提高教学效果。

二、结构分析法在数学“学”的过程中的运用

（一） 触类旁通，掌握新知识

1、引导学生学会概括数学公式（法则）的“口诀”，提高记忆效果和学习效率。

例4、引导概括：三角函数中“加法定理”的口诀。

sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ

cos（α±β）=cosαcosβsinαsinβ

tan（α±β）=tanα±tanβ1tanαtanβ

引导学生类似“诱导公式”的分析方法，观察分析上述公式的结构形式，发现角的排布规律明显――先α后β。

首先，观察分析上述公式的三角函数名称的排布规律发现：正弦、余弦名称“改变”，正切名称“不变”。由此可以概括为：“弦变切不变”。弦变之意为：“正弦正在先，名称交替出现;余弦余在前、名称重复出现”。

其次，观察分析上述公式的“±”号的排列规律发现：正弦左右一致;余弦左右相反;正切分子一致，分母相反。由此可以概括为：“符号有顺逆”。顺逆之意为：“弦正顺余逆;切上顺下逆”。

因此，可以得到加法定理“口诀”为：“弦变切不变，符号有顺逆”。

这样，就抓住了数学公式的本质特征，在理解掌握数学公式时就会感到：易记、好用、准确、高效。

2、引导学生学会揭示数学公式（法则）的“条件”，提高理解运用的准确性和灵活性。

例5、引导学生学会揭示重要极限limx∞1+1xx=e的“条件”。

引导学生类似“二倍角公式”的分析方法，观察分析上述公式的结构形式发现：“可变部分”是1x与x，且成倒数关系，余者“不变”。即limx∞1+[ ][ ]=e，于是，公式成立的“条件”是：小括号内的[ ]与小括号外的[ ]的结构形式成倒数关系且与x有关，当x∞时，小括号外的[ ]∞，公式成立。

再如，limx0sinxx=1limx0sin[ ][ ]=1。成立的“条件”是：[ ]内的结构形式一致且与有关，当x0时，[ ]0，公式成立。

这样，在运用数学公式时，就能准确、灵活、快速地解决问题。

（二） 举一反三，解决新问题

学以致用，举几个例子看一下由“结构分析法”得出的结果在数学解题中的应用。

例6、已知函数f（x）=x2+2，g（x）=2x+1，求f（g（x2））

解：g（x2）=2x2+1， g[]=2×[]+1 （对应法则g）

f（g（x2））=（g（x2））2+2，f[]=[]2+2（对应法则f ）

=（2x2+1）2+2

=4x4+4x2+3

例7、求函数y=sin（kx-π6）sin（kx+π3），k≠0的最小正周期。

解：y=sin（kx-π6）sinπ2+（kπ-π6）

=sin（kx-π6）cos（kx-π6） 纵变横不变，符号看象限（诱导公式口诀）

=12sin（2kπ-π3）

左边角是右边角的一半，二倍角公式成立（条件）

最小正周期为：T=π|k|

例8、求limx∞2x+32x+1（x+1）

解：原式=limx∞1+22x+1x+12 +12

=limx∞1+1x+12x+121+1x+1212

=e・1=e 1x+12与x+12成倒数关系，公式成立（条件）

综上所述，“结构分析法”在整个教学活动中，体现了二法合一的内在统一性。一法二用，不仅能使学生易于接受“教法”，理解知识，听得明白，又能使学生利于掌握“学法”，学会思考，解决问题，还能使学生对数学概念、公式、法则等数学知识的深刻理解和灵活掌握得到很大程度的提高。从而能灵活多变地快速解决问题，提高学习效率，达到“授之以渔”的教学目的。

参考文献：

数学中的分析法篇5

【关键词】高中数学；举例方法；抽象

引 言

数学课程是我们每一位从学习生涯走过来的人必须学习的一门基础课程，数学作为一门基础课程，又是一门工具课程，它的学习效果不仅关系着数学这门课程的学习成绩，而且与其他课程的学习也息息相关，学好数学对于学生的整个学习生涯以及日后的工作和生活都至关重要、

一、高中数学的特点

小学数学、初中数学、高中数学、高等数学是我们大多数人都要学习的四个阶段的数学课程、对于这四个阶段课程的学习，每个阶段都有其各自的特点，就整体而言，从小学数学到初中数学再到高中数学，它们的难度在一步步递增，知识从直观变得越来越抽象、下面着重介绍高中数学的特点、

1、高中数学具有明显的抽象性

相对于小学数学和初中数学来讲，高中数学具有明显的抽象性、我们在学习小学数学或者初中数学的时候，老师所讲的知识都是可以用图示直观地展现出来的、例如，我们在小学数学中学习数字的时候，我们可以直观地看见每个阿拉伯数字的写法，不需要我们进行想象，我们只需要努力将它们的样子和次序记住，再掌握一定的数字技巧即可、在初中数学阶段中，数学被分为代数和几何两门课程学习，在学习几何课程的时候，我们会感觉非常的直观、例如在学习平行线的时候，我们可以直观地看见两条直线的相互位置关系，而不需要我们任何的想象，可以说抽象性几乎为零、但是高中数学却不是这样的，相对于小初中数学来讲，抽象性是高中数学最明显的一个特征，在高中数学知识的学习过程中，很多知识我们是不能通过眼睛的观察直接得出的，而是必须在脑海里进行一定的构思和想象，利用自己的空间想象能力来学习高中数学、例如，在高中数学中，我们学习立体几何部分的时候，以正方体为例，立体几何的六个面不可能同时在二维的黑板上被展现出来，这时我们必须运用空间想象能力，将正方体的六个面在脑海中想象出来，作为辅助帮助学生进行高中数学知识的理解、

2、高中数学的难度较大

高中数学的学习最终要接受高考的检阅，高考作为我国的一个重要的选拔性考试，考试试题在难度上比较大，所以相应的高中数学知识在日常的学习过程中理解起来难度也比较大、在我们的日常生活或者学习的过程中，我们经常会遇到一种人，他们在小学和初中的学习过程中，数学成绩一直全班名列前茅，但是到了高中数学成绩却一落千丈，甚至坠入无底深渊，从此跟不上数学的教学进度，从一定程度上讲这种现象就是由高中数学的难度大而导致的、在小学和初中的数学过程中，知识相对来说难度较低，也不需要学生过多地进行想象理解，但是到了高中以后，任何一道题目的解答，都需要进行想象，难度也比较大，在高中数学的学习过程中，仅仅依靠努力学习是不够的，还必须掌握一定的数学学习方法和解题技巧，才能将高中数学课程学好、

3、高中数学知识与知识之间的联系更加紧密

其实对于数学这门课程来讲，无论是小学数学还是高中数学又或者是初中数学，知识与知识之间都具有一定的联系，但是这种知识点之间的联系在高中数学中体现得更加明显、在小学数学或者初中数学中，这种知识与知识之间的联系仅仅体现在日常的新课程学习过程中，而在考试试卷中出现得非常少，它们只是将上节课学习的旧知识作为这节课学习的新知识的基础而已；在高中数学中，知识与知识之间的联系不仅仅是体现在日常的数学知识学习过程中，而且在高中数学考试中体现得也非常多，在高中数学考试的解题过程中，我们必须由已知的知识信息通过转化推理推算出未知的信息，而且很多的高中数学题目仅仅依靠一次推理是做不出来的，而必须经过两次或者三次，在推理的过程中，只要一个知识点存在漏洞，整道题目将会没有答案、

4、高中数学相对于小初中数学来讲具有严密性

数学这门课程本身就是一门比较严密的课程，逻辑思维和正确的推理是在数学课程的学习过程中经常需要用到的工具、但是高中数学相对于小初中数学来讲更加严密，在小学数学或者初中数学的学习过程中，由于我们的数学知识或者解题技巧相对比较欠缺，如果按照正常的数学思维去教学，学生很难理解，甚至还会使学生混淆不清，鉴于此，为了更好地对学生进行教学，在小学数学和初中数学的教学过程中，很多推理是不严密的，而这种不严密性会随着我们数学学习阶段的不断转变一一被化解、高中数学的学习相对来讲就要严密得多，因为有了小学数学和初中数学的知识作为学习的基础，再加上随着学生的年龄增长而增长起来的理解能力，使得高中生能够对严密的数学推理进行深入细致的理解、

二、高中数学举例教学方法的策略

1、重视对高中数学抽象知识的举例讲解

高中知识相对于小学数学和初中数学而言更加抽象，这一点大家都不否认、但是并不是所有的高中数学知识点都是抽象性比较强，也有的知识点是直观地可以让学生看见或者理解的，所以，在高中数学的教学过程中必须有侧重点地进行教学、对于那些抽象性比较强的知识点要进行重点讲解，而对那些非常直观的知识点老师只需在课堂上一带而过即可、而对于抽象性问题的教学，利用举例的方法是最合适的，举例的方法可以将本来抽象的方法具体化，通过举例的方法让学生对抽象的知识产生一目了然的感觉、例如在讲解立体几何知识点的时候，以长方体为例，在二维的黑板上我们不能把长方体的六个面全部直观地展现出来，我们可以在现实生活中找一个长方体实物作为课堂道具来辅助老师进行长方体的教学，也可以就地取材，例如利用长方体的黑板擦作为道具等等、利用举例的教学方法可以将抽象的问题具体化，让学生更好地掌握高中数学中的抽象知识和内容、

2、加强高中数学知识点与知识点之间联系的举例教学

高中数学中知识点与知识点之间的联系比较紧密，而有的知识点与知识点之间的联系具有非常微妙的关系，利用单纯的数学逻辑进行推理很难让大部分学生深刻理解，针对这种情况，我们可以将理论联系实际，利用生活中的例子来比喻这两个知识点之间的相互关系，高中生以生活中的事物为载体来正确理解这两个知识点之间的关系，进而在以后的知识学习或者考题解答的过程中灵活地在两个知识点之间进行转换、

3、高中数学举例教学要具有一定的严密性

数学本身就是一门严密性非常强的学科，高中数学相对于小学与初中数学来讲严密性更强，在高中数学的日常教学过程中，无论是对知识点的教学还是为了让学生最大限度地掌握知识而采取的教学方法都有具有一定的严密性、在高中数学教学过程中经常用到的举例教学方法也是如此，在应用举例的办法帮助高中生理解知识点的时候，所举的例子必须做到恰到好处，首先不能是不健康的例子或者是不适合高中生了解的例子，而且所举的例子还必须与所要表达的知识点的意思高度相似，避免学生在以老师所举的例子为载体进行知识点的学习时，理解出现偏差，不能帮助学生正确地理解知识，反而把学生的思维向相反的方向带、

4、高中数学举例教学要坚持简洁性原则

在高中数学的教学过程中，举例子是经常用到的教学方法，但是我们知道高中数学的知识点大都比较繁琐复杂，特别是在两个知识点之间进行相互联系的时候、虽然高中数学的知识点相对来说比较复杂，知识点与知识点之间的联系也比较繁琐，但是，我们在利用举例子的方法进行知识点的讲解时，必须坚持简洁性原则，尽量利用最简单易懂的例子将问题解释清楚，而且所举的例子要尽量地贴合实际，便于高中生进行深入理解，这也是我们所说的深入浅出、

三、结 语

高中数学的抽象性比较强，而且相对而言难度较高，知识点与知识点之间的关系错综复杂，而且具有很好的严密性等等，这些特点就导致学生在学习数学课程的过程中难以对知识点进行彻底的理解和掌握、实践证明，采用举例教学的方法可以很好地解决高中数学所面临的一系列难题，通过举例教学让抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，有效地提高了高中数学的学习效率，为以后学习更加抽象、复杂的问题奠定坚实的基础、

【参考文献】

数学中的分析法篇6

例如，在讲解直线与平面平行的判定定理时，教师可以提问学生：根据同学们对日常生活的观察，你们能举出直线与平面平行的具体事例吗？学生一回答：日光灯和天花板，竖立的电线杆和墙面。学生二回答：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在平面平行。学生举例完毕，教师再通过具体教具和多媒体演示，使学生更加深刻体会直线与平面平行的空间感知力，从而调动学生学习的热情，开拓学生的思维，以便更好地完成教学任务。

二、提问方式的开放性

教师在课堂中要少用判断性提问（对不对？是不是？）和叙述性提问（是什么？），多用一些理性提问（为什么？）和发散性提问（除此之外你还想到什么？）逐步引导学生，提出的问题要有利于激发学生多向思考，调动学生的创造性思维。培养学生主动思考问题的能力。例如，在讲解圆与圆的位置关系时，在给出相切的概念时，可以引导学生自己画出两圆相切的图形，从而让学生自己得出相外切和相内切的两种情形。

三、学习状态的开放性

1、学习材料来自学生。学生参与学习材料的提供，使学生感到亲切，有利于教学目标的达成。

2、学生之间开展多种形式的交流活动。多让学生分组讨论，协作交流，使课堂生动起来。学生在讨论的过程中，更能发现问题，从而更加深刻地理解知识内涵。

3、把评价的权利交给学生。在提问做出解答后，让学生去评价，从而使其在评价中进步，培养学生的开拓能力和创造精神。

数学中的分析法篇7

一、数学思想方法教学的心理学意义

1、心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去，学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。

2、有利于记忆。数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的，无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”

3、学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。

二、初中数学教学内容的层次

初中数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。

表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。

深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识。教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性。

那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。

三、初中数学中的主要数学思想和方法

数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于初中生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在初中数学中应予以重视的数学思想主要有三个：分类讨论思想、化归思想和对应思想。其理由是：（1）这三个思想几乎包摄了全部初中 数学内容。（2）符合初中生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握。（3）在初中 数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多。（4）掌握这些思想可以为进一步学习高中数学打下较好的基础。

此外，符号化思想、公理化思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透。数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识、经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于初中数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法，数形结合法，变换法，函数法和分类法等。一般讲，初中数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。

四、数学思想方法的教学模式

数学中的分析法篇8

On the Application of Construction Method in Mathematical Analysis

LI Shengbiao

（Lanzhou University of Arts and Sciences， Lanzhou， Gansu 730000）

Abstract This paper studies in mathematical analysis teaching， some application of construction method in theorem proof， counterexample， inequality proof of concept、

Key words construction method； mathematical analysis； application

0 引言

在数学分析课程中，定义、定理和习题中有大量的存在性问题， 证明存在性命题，构造法是经常用到的一种方法。构造法根据题设的条件，先构造一个辅助函数，使该辅助函数符合另一个已经证明成立的定理，从而使所求证的命题得以证明。然而，构造法一般无章可循，具有很大的灵活性，没有固定的模式，因此，如何才能设计和构造一个恰当的辅助函数，这是构造法的关键所在。笔者在讲授数学分析中微分中值定理等问题时，针对问题的具体特点，总结出一些构造辅助函数的规律。本文将结合实例具体介绍这一方法及其应用。

1 构造法在定理证明中的应用

1、1 还原法

还原法证明定理的关键是构造一个辅助函数，构造方法一般从定理的结论出发，通过对已知和结论的分析，构造出辅助函数。具体的构造方法如下：将欲证结论中的换成，然后对等式两端积分，再移项，使等式一端为常数，则等式的另一端即为辅助函数。

例1 设 （），（）在[]上是连续函数，证明存在（）使 （）（） = （） （）。

分析过程：将结论中的换成有

（）（） = （） （），移项得

（）（）（） （） = 0。

即有（ （）?（）） = 0，

两端积分得 （）?（） = 。

即构造辅助函数（） = （）?（）。

证明：作辅助函数（）= （）?（），显然（）在[]上连续，在（）内可导，且有（）= 0 = （），故满足罗尔定理的三个条件。由罗尔定理的结论有，在（）内至少存在一点，使得（） = 0，可得 （）（）（） （） = 0，即 （）（） = （） （）。

1、2 微分方程法

在此介绍构造辅助函数的另一种常见方法 ――微分方程法，下面结合实例介绍这一方法及其应用。

例2 设函数 （）在[0，1]上连续，在（0，1）内有二阶导数，证明存在（0，1）使 （1）2 （） + （0） = （）

分析过程：将结论中的换成并变形有，（）= 4[ （1）2 （） + （0）]，记 = 4[ （1）2 （） + （0）]得二阶微分方程（） = ，解微分方程可得其通解为： （）= + +，作辅助函数（） = （）。为了使得（）满足罗尔中值定理的条件，需令（0）=（）=（1）=0，可求得， = （1） （0）， = （0）。故构造辅助函数（） = （） （ （1） （0）） （0）。

证明：记 = 4[ （1）2 （） + （0）]。

作辅助函数（） = （） （ （1） （0）） （0）。显然（）在[]上连续，在（）内可导，且（0）=（）=（1） = 0，故满足罗尔定理的三个条件。由罗尔定理有，存在（0，），（，1）使得（）=（）= 0，再次使用罗尔定理存在（，）（0，1），使得（）= 0，即（）= ，即（）= 4[ （1）2 （） + （0）]，整理得 （1）2 （） + （0） = （）。

2 构造法在构造反例中的应用

数学分析的学习过程，是一个不断引出问题和解决问题的过程。而解决问题的过程通常是给出证明或举出反例的过程，因而构造反例在数学分析的学习中占有重要的地位。

例如，我们知道二元函数 （）在点（，）处沿任意方向的方向导数都存在且相等，但 （）不一定在点（，）处连续，可微，甚至在点（，）处连二重极限也可能不存在，那么如何构造出一个这样的二元函数呢？

由数学分析的知识知方向导数只和直线上点（，）的某线性邻域??= 有关，存在即可。因此，我们构造的函数要满足：①对于>0，在点（，）的任一邻域∪（，），从发出的任一方向上的都存在且相等。②在处 （）的极限不存在。这就要求在邻域∪（，）内既要有使相等的线性邻域，又要有使函数值不相等的点。依此，我们可构造该函数。因为 （0，0） = 0，所以。但在点（0，0）的任意邻域内，总能找到使 （） = 1的点，这就说明 （）在点（0，0）处的极限不存在，也就不连续，不可微了。

3 构造法在不等式证明中的应用

利用构造法证明不等式，通常是依据所证的不等式先构造出一个辅助函数，再利用导数这一工具证明不等式。

例3 设函数 （）在[]上可导，且 （）≤， （） = 0。

求证： （）≤。