生育率的概念(6篇)

生育率的概念篇1

在中、英两国不同版本的高中数学教材中就“导数概念”内容进行了编写特征的比较。从导数概念得出的结构路径、表述形式与例习题的编排方式、数量、难易水平、综合水平及信息技术的融入等方面建立框架，并以宏观与微观两个层面作比较分析，得到了两国教材在编写上具有宏观的相似性和微观的差异性，从而得到了教材编写的启示.

【关键词】导数概念；结构路径；例习题

1引言

2015年8月，一部由英国BBC公司制作的关于中英两国教育比较的纪录片，引起了两国的热议.该片以英国汉普郡某中学为背景，在一个自愿组成的50名英国中学生班级里，邀请了5位中国教师来进行为期1个月的“中式教学”，然后通过测验与其他班级进行PK，最后是采用“中式教学”的实验班取得完胜的一部3集纪录片.而在实施“中式教学”的科目中就有数学，且在最后的测验中平均分超过了对照班10分.这部纪录片播出后，关于中英两国的教育孰优孰劣开始争论不休.但笔者认为这完全没必要，因为由BBC公司策划的这场“教学实验”，既不科学也不严谨，它完全是以娱乐为主，以提高收视率为最终目的，所以在选择、剪辑素材来制造“悬念、冲突”等方面是不客观的，因而不能算作严格意义上的教学实验，也不是比较教育研究.为了真实、客观地反映中英两国的教育，笔者特意选了两国各一本高中数学教材，并就某一个相同内容的教材编写特点作比较研究，以期能较真实地了解两国不同的数学教育现状.1研究方法

2.1研究对象

比较研究的内容是“导数概念”，选取的中国大陆教材是人民教育出版社出版（2007版）的数学（A版）选修22（简称“人教版”），英国教材选用的是由培生公司（Apearsoncompany）2009年出版的，英国爱德思（Edexcel）国家职业学历与学术考试机构所用的教材：EdexcelASandALevelModularMathematics（core1）（简称“ASA版”）.

显然在现阶段，这两个版本的教材是各自国家中使用最广泛的.虽然中国大陆有几个版本的高中数学教材，但大多数省份还是使用人教版，因而很有代表性.而英国高中的Edexcel考试委员会所用的教材就是核心数学模块系列（分别是core1、core2、core3和core4）.其中core1、core2教材的程度相当于中国大陆的高一，属于ALevel考试（相当于高考）的ASLevel，也是英国学生在进大学前的必修课程.由于“导数概念”在ASA版core1的第七章，而人教版在选修22的第一章，所以就以这两本教材为研究对象.

2.2研究问题

中英这两个版本的教材就“导数概念”这块内容是如何编写的呢？导数概念的引入与表述又是怎样？相对应例习题的编写特征是什么？题量、难易度与综合水平又是如何配置的？

2.3研究方法

基于两个不同版本的高中数学教材的文本，从宏观和微观两个方面建立分析框架，以具体内容的细节分析比较为主要研究方法，以便更清楚地了解两种教材的异同点.3研究结果与讨论分析

3.1导数起源概述

为了更好地理解两国教材在对导数概念处理方式上的异同点，有必要对导数的起源有所了解.微积分诞生于17世纪，但导数的产生其实起源于对三个古老问题的研究，分别为解决光学问题、处理曲线运动的速度问题与确定曲线的夹角问题.而要解决这三个问题都涉及到同一件事，那就是要解决曲线的切线问题[1].所以，曲线的切线问题导致了导数的诞生，故要讲授导数，必定离不开切线问题.

3.2导数概念的编写比较

3.21导数概念的结构路径比较

通过宏观层面来观察两国不同教材对导数概念的得出.下面以它们的呈现结构路径为例来比较.人教版安排了3小节，具体的编写路径为：生活中的平均变化率瞬时速度在x=x0处的导数概念导数的几何意义：在点P处的切线导数的概念

而英国ASA版安排了2节，具体的编写路径为：在曲线某一点变化率与切线求f（x）=x2图象上某一点的切线斜率导数f′（x）的概念

从宏观的角度来看导数概念呈现的结构路径，其编写的思路基本相同：都是从特殊到一般.也就是都从具体的例子着手来引出导数概念，并且在对导数概念的引入形式上也是相同的：都不是从严格的连续性和极限的概念上来得出的，而是通过实际例子和切线的斜率，从形到数让学生直观地体会“以直代曲“的思想后直接给出.所以导数概念在得出之前的整体结构上编写思路是一致的.

但从微观的角度来看，两国教材在导数概念引出之前的处理上还是有明显差异的.中国的人教版教材是以平常生活中的现象来引出的：气球的膨胀率和运动员高台跳水来引出平均变化率，然后以瞬时变化率来得出y=f（x）在x=x0处的导数概念，再理解它的几何意义得到函数f（x）在x=x0处切线的斜率，最后才得出f（x）的导数概念，即导数f′（x）.而英国的ASA版教材直截了当地从曲线的切线入手，在讨论y=x2的图象在不同点处的切线斜率后就归纳出y=x2的切线斜率，接着就得出了导数概念f′（x）.这表明人教版在概念引入方面更注重实际生活例子，强调数学在生活中的应用，因而生活味很浓.而ASA版则更注重于数学本质，它以当年数学家迫切需要解决的切线问题为抓手来处理，遵循了历史发生原理[2]，故编写得更具数学味.

生育率的概念篇2

关键词：高中生物；概念教学方法；构建；课堂

随着我国教育体制的不断改革创新，在高中教育阶段已经开始实行文理分科政策。在高中教育阶段，生物课程也被称为理科中的“文科”。这也说明了一点，对于生物课程的教学理解能力是十分重要的。但是对于高中时期生物课程实体教学中，根据课本教学目标来说，都相对抽象，涉及的生物类型等也十分复杂，但是实体的教学互动实验也是非常有限的。这也给生物实体教学带来了一些疑惑，而在教学中激发学生的兴趣，促进学生的理解也尤为重要。

一、我国高中阶段生物教学存在的缺陷

（一）教学效率较低

在高中教育阶段，生物课程的整体教学质量相对较低，因为高中生物课程本身涉及的内容较初中时期，已经变得更广了，内容上更加丰富，知识也更偏向于微小生物周期等的研究，并且知识点相应也增加了很多。如果单纯按照教学目标和课本内容依次讲解，对于学生的理解是有一定难度的。根据生物课程的特征来说，内容交叉相关的也很多，另外生物课程本身的抽象性，给教师和学生都带来了一定难度，所以，在高中生物教学过程中需结合一定的教学方法以促进教学。

（二）重视课程进度，忽视教学本质

对于现阶段而言，教育行业在我国的社会地位也是很高的。对于高中教育阶段更是教育的重要阶段。所以对于教师来说，对生物教学课程的安排相对来说相对紧凑，往往按照教学重点顺序进行授课，从而忽略了生物课程的学习是一个完整的过程，除了对重点知识的学习，还应加强生物基础知识的学习，并且在实体课堂中构建适宜的学习氛围和教学方法，以促进后期生物的学习。对于高中生物的教学本质不只是让学生掌握生物圈的发展进程，更是了解生命存在的意义。通过生物的基本概念的学习，了解生物课程中知识点的内涵，从而继续后期的学习。

二、高中生物概念教学方法的引入

（一）高中生物概念教学的含义

生物概念教学法指的是在生物教学中以生物课本的基本概念知识为基础来进行生物知识的扩展学习。生物概念是生物课程的重要组成部分，生物概念体现的是对自然界以至整个生物界中具有相同特征的物体或者生命体的集合。生物概念的出现也体现了生物科学家和研究人员的伟大成果。

（二）高中生物概念教学的引入背景

根据2011年修改后的《义务教育生物学课程标准（2011年版）》中要求的，课程标准要求课程要凸显科学本质，需加强并重视概念知识的学习，在课标内容标准中筛选并呈现了50个重要概念。这也体现了生物概念学习的重要性。在现今，高中教育阶段，生物课程的深入学习也带动了学生的全面发展，拓宽了学生的视野，对生物概念教学的引入也是提高生物教学效率的必然发展要求。

三、高中阶段生物概念教学的相关研究

（一）高中阶段生物概念教学的教学关键点

在高中生物教学中，为加强学生的学习效率和理解能力则需加强概念教学。但是在生物的教育过程中，涉及的知识点很多，所以在生物教学过程中需注意以下关键点。1.相似名词概念的区分高中生物中相似名词的内容和知识点很多。例如“，囊胚”与“胚囊”的区分，从概念上来区分，囊胚是指在动物胚胎发育过程中，受精卵通过有丝分裂，细胞增多，而形成空腔的球状胚，则为囊胚；而胚囊是由植物的胚珠大孢子母细胞通过减数分裂和有丝分裂形成的。所以需通过实质概念进行区分，否则会造成知识的混杂。又如，“半透膜”与“选择透过性膜”的区别，半透膜是指某些物质可以透过，而另一些物质不能透过的多孔性薄膜（如动物的膀胱膜，肠衣、玻璃纸等）。它只能让小分子物质透过，而大分子物质则不能透过，透过的依据是分子或离子的大小。不具有选择性，不是生物膜。选择透过性膜是指水分子能自由通过，细胞要选择吸收的离子和小分子也可以通过，而其他的离子、小分子和大分子则不能通过的生物膜。所以概念间的关系是有关联也有差异的。2.教师的适宜讲解在实体课堂教学过程中，教师和学生是重要的主体，教师起引导作用，学生应多思、多辩才能取得相应教学目标。在生物课程中也是如此，将概念教学的引入时，教师作为引路人，应先让学生初步理解，然后教师为辅进行教学沟通，要避免教师全盘讲解而使学生失去兴趣，同时在教学过程中注意并强调基础概念的重要性，以便促进后期生物教学。

（二）高中阶段生物概念教学引入的意义

生物概念是对事物的观察和实验后总结出来的科学性的结论，生物学教学的重要组成部分就是概念教学，生物概念教学是生物学的基础，学生只有对概念有了正确的理解才能够牢固的掌握知识，才能够了解到概念的本质，概念需要学生在思维的不断升华中去慢慢理解。因此，高中阶段生物的教学模式分为三种：第一种是课堂教学；第二种是多媒体课堂；第三种是实验教学。不同方式的教学都是为了加强学生的学习效率，通过生物基础概念的学习使学生能在不同的教学氛围中迅速掌握知识点。另外，概念教学法的应用比较广泛，没有特殊限制。在教学中的应用不仅简化了教师的教课程序，也为学生的后期学习打下了坚实基础，使学生先理解知识点再进行后期发挥。并且随着生物课程的知识点的层层联系也能使学生将相关联的生物知识点通过概念知识进行发挥，拓宽了学生思维。在高中教育阶段，生物的学习需要结合一定的理论基础，而概念教学在生物中的应用，大大地为学生的后期深入学习打下基础。知识的学习是在理解的基础上进行变通的，再强大有力的理论和见解的提出是需要有一定的基础理论来支撑的，而基本概念就是最直接且具有说服力的，概念体现的是一种特征的集合或者重新命名，是后期的各种研究学习过程中的重要理论基础，这也体现了概念的重要性。对于高中教育阶段生物的学习也是如此，需要对概念理解的基础下开展学习，而简化后期的相关知识的混乱，达到促进教学作用。

参考文献：

［1］蓝梅花.情景认知理论指导下的生物概念教学研究[D].广州大学，2012（4）.

生育率的概念篇3

关键词：小学数学；概念教学；效率；提高策略

一、概念教学总述

（一）概念

数学概念在数学学习中是较为常见的词语，简单的定义为客观现实里，数量关系与空间形式在人类大脑之中关于本质属性的反应，表现在数学语言里相关的名词、符号及术语等的准确定义。在现实生活中存在的物体都有本质上或者非本质上的双重属性，数学主要研究的就是事物的本质属性。

（二）重要性

概念是学生在学习中找到规律，沿着正确的方向进行判断及推力，能够灵活使用所学知识的一种基础。小学数学中的概念是学生在数学道路上最初的基石，是他们通向未来数学之路的钥匙，因此数学概念教育不仅是帮助孩子了解概念中的内容，更是为培养学生数学能力打下基础。

（三）影响因素

能够影响数学学习的因素有很多。首先是学生自身的因素，学生在现实生活中对一些事物的理解λ们学习概念会产生干扰作用，在社会生活中对某些事物有一定的界定，但这种认知是没有严格概念定义的，但是在学习中学生由于年龄问题对这些抽象的具有概况性的文字理解远不及生活中那样生动具体，因此会对教学工作带来影响。其次是教材因素，目前学习的主要工具还是课本，课本资料少对学生理解内容感觉会很简单，感念的描述有时候会很少，因此学生会按照自己的理解完成概念的记忆，在这中间可能会产生一些误差。最后是教师的影响，教师在自身的文学素养方面不再造成对理解的偏差无法带给学生正确的理解方式，另外他们的教学模式陈旧，不适合现代教学的需要，不能运用比较现代的多媒体教学或者情景教学等模式使学生更加生动具体的理解概念的真正含义。

二、在概念教学应用于小学数学实践教学中发现的问题

一是不注重概念的重要性。有些教师在教授概念时只要求严格的背诵，然后就针对概念选取题目进行练习，在大量计算中学生完成了教学过程，学会了应用却对概念本身遗忘或缺少理解。还有一部分教师会在教授概念是直接将自己的结论告诉学生，而忽略了概念形成和推理的过程，这样对学生的能力培养无益，最终还会导致学生的依赖性和只注重结果的问题产生。

二是不注重抽象概念的培养。概念是分抽象和形象概念两个部分的，自教学中教师往往只在直观上对学生进行概念的教育，将抽象的部分淡化，学生也会这样只注重实体部分而对抽象思维的理解能力淡化。

三是过于依赖课本而忽略实践作用。课本教学模式一直是中国小学教育的传统方法，教师在教学中讲概念一字不差的教给学生，然后要求背诵，却不会联系实际，将生活和概念联系，加强学生对概念的理解，并且能够在生活中得到应用，活学活用才是教学应该达到的最终效果。

四是未能形成教学体系。教师在教学中讲概念单独传授，并没有将相关知识点紧密的联系在一起，学生理解的时候只是针对某一个概念进行理解，时间久了很容易遗忘，如果能够形成一个知识的网络，在记忆其中一个的时候就将与之相连的部分一同回忆起来，并且在这样的联系中对于知识的理解和应用能力都会得到提高，时间久了他们对其他知识也会自觉的形成总结模式，对能力的培养十分有效。

三、提高教学效率的策略

一是培养学生学习兴趣。对学习兴趣的培养是提高学生对概念理解学习最有效的办法，在对自己感兴趣的事情进行学习的过程中，学生的思想会被主动的带动起来，自觉完成学习任务，这样比教师一味的传授知识要有效，教师只需要在教学中加入情景教学或联系实际等教学方法，激发起学生的学习兴趣就能够更加有效完成教学工作。

二是改变教师的教学观念。教师是课堂的灵魂，教师的行为度教学起着关键性影响，甚至会改变孩子一生的命运，因此教师要对自身的素养进行提高。在教学方面提高自身水平，将概念自己理解到位后再去教给学生，要深入了解学生的心理，改变传统的教学模式，主动接受新鲜的教学方式，使学生在轻松愉快的氛围下学习，并且注意自己与学生的交流模式就，使严肃的师生关系变成一种轻松的教学模式。

三是丰富课堂教学模式。概念的形成往往是有罪简单的词语表达无限的含义，概念在总结形成中注意的就是精炼，但是学生理解能力却很有限，能够理解的内容和层次也是有限的，这时需要的是教师科学的指导工作，在课堂中加入更多的材料，将原本抽象立体的概念变成有型的容易理解的东西，这对学生的理解和记忆都十分有效，另外将知识体系化是有效的记忆办法，这对学生能力的培养液十分有益。课后还可以组织学生参加一些实践活动，将所学的知识得到应用会建立学生学习的兴趣和信心。总之将枯燥的文字变成形象的物品更能有效提高教学效率。能够影响学生学习的因素很多，一句话一个动作都可能改变一个学生的学习，教师在日常的工作中应该不断的总结经验寻找最适合的教学手段。

四、结束语

小学数学教育不仅是在教会孩子知识，更是培养孩子学习的能力和兴趣，因此在注重素质教育的今天教师更应在研究提高教学效率反面对自己提出更高的要求。小学生有自身的学习特点，根据不同时期的儿童心理开展教学活动会对提升教学效率有很大的帮助。另外采用多种生动有趣的教学手段对学生学习帮助也很大。

生育率的概念篇4

1.我国学前教育信息化建设所具备的良好基础

1.1良好的政策为教育信息化建设的发展创造了发展环境。随着教育事业的发展，我国在全面推进教改的过程中，需要在更新教学理念、创新教学方法与手段的基础上，通过调动学生的主观能动性来恢复学生的课堂教学主体地位，进而在提升教学质量与效率的同时，培养学生的综合能力。而在这一过程中，国家以有效政策的落实为教育信息化建设的发展"保驾护航"，并突出强调要实现学前教育信息化建设，从基础教育抓起，为人才的全面成长奠定基础。在此背景下，学前教育信息化建设就具备了良好的政策保障。

1.2相关理论基础不断发展成熟。当前，学前教育信息化建设已成为国内外教育工作关注的焦点，相关理论研究从深度、广度上都实现了发展，相关领域的学者不仅将研究的焦点集中在信息化建设、教学资源整合、资源共享等方面，同时还是深入到学前儿童音乐、英语等教学领域。在国外相关领域的研究上，以苏珊为代表的教育工作者已在相关领域的研究上取得了先进的理论与实践成果，值得借鉴。

1.3践行教育信息化较早，且取得了初步的成效。在素质教育的深入开展下，学前教育事业积极地将多媒体教学设备应用于教学中，在此基础上，实现了学习网站的建立，进而构建了教育资源共享平台，这就为教学质量与效率的提升奠定了基础，同时，这一发展过程也说明了学前教育在践行信息化建设的过程中成功的迈开了第一步，相关理论基础不断发展成熟。

2.贫困地区学前教育信息化建设过程中所面临的挑战

2.1我国贫困地区农村学前儿童的入学认知准备总体情况不容乐观。在对儿童进行入学准备测查后发现，我国贫困地区农村学前儿童入学认知准备中概念范畴的平均通过率仅为55.4%。入学认知准备分为基本概念和综合概念两部分，其中基本概念共65题，包括颜色、数字/计数、量、比较、形状等五个基本认知范畴，被视为入学准备评估的主要评价标准。在我们的测查中，农村学前儿童的平均通过率为65.4%（见图1）。入学认知准备中综合概念共220题，包括空间认知、社会认知、物理认知、数量认知、时序概念等五个综合的认知范畴，被视为入学准备评估的主要评价标准。在这个方面，农村学前儿童的平均通过率仅为45.4%。该结果显示，我国贫困地区农村学前儿童的入学认知准备总体情况不容乐观，其中儿童综合概念的获得更加值得关注。

2.2学前儿童入学认知准备中概念范畴的发展存在不平衡问题。在入学认知准备中概念获得方面，基本概念的通过率优于综合概念的通过率，其中数字/计数（89.2%）和量（79.3%）这两项的通过率远远高于其他项目，而时序概念、空间认知、物理认知和颜色的通过率则非常低。这个结果可能说明农村学前教育中儿童学习重点的涉及面窄，教育者较多关注儿童计算能力方面的发展而忽略儿童其他认知范畴的学习。

2.3农村学前儿童入学认知准备与其学前教育经历密切相关。在分析研究结果时，我们发现贫困地区农村学前儿童入学认知准备在性别、民族上不存在差异，但是与儿童的学前教育经历显著相关。我们将农村学前儿童的学前教育经历分为四种类型：幼儿园三年学前教育经历（简称幼儿园经历）、学前班一年学前教育经历（简称学前班经历）、学前阶段在小学一年级混读经历（简称混读班经历）以及散居在家无学前教育经历（简称无学前教育经历）。研究结果证实，农村学前儿童的学前教育经历对他们的入学认知准备影响显著，其中具有幼儿园三年学习经历的儿童入学认知准备状况最好，其次为具有学前班一年学习经历的儿童，而以学前班名义就读、实际上在小学一年级混读三年的儿童，他们的入学认知准备与无学前教育经历的儿童没有差异，表现最差。

3.区域性学前教育信息化建设的途径

3.1合理定位学前教育信息化，进而实现其内涵建设。在教育事业中，实现信息技术与课程教学资源整合的根本目的是为了在突破传统教学方法的基础上，提高教学的质量与效率，并培养学生的信息化素养。要实现这一教育目标就需要针对幼儿身心发育特点，从幼儿的认知特点着手，制定有针对性的教学策略，进而才能充分地发挥出教育信息化作用。从以上信息化运用的过程中不难看出，信息化并非教育的核心，而是实施教学的一个环节。在建设学前教育信息化的过程中，需要具备如下三方面内容：第一，家长的充分支撑，能够通过家庭教育为信息化教育环节的落实提供支撑；第二，幼儿园教师的能力素质的支撑以及幼儿园管理质量的支撑；第三，家长与幼儿园教师互动与沟通的支撑。

3.2构建资源共享平台，实现学前教育资源质的提升。在推进学前教育信息化建设的过程中，需要建立教育资源共享平台，以提高教育资源的质量，进而才能通过信息化的建设来提高学前教育的质量。而这就要求做到：第一，政府要给予当前学前教育信息化建设充分的重视，在政策上要实现有效的扶植，并要加大对学前教育信息化建设的投入，落实教育的公益性与普惠性。第二，要集中行业教师、学者等的力量，实现理论实践的相结合，并不断更新充实资料库资源，确保资源的质与量。第三，要积极的吸收国外先进的理论与实践经验，并搭建与国外信息共享平台，以通过互通有无实现资源的最优化。第四，要建立关于优质资源评价的机制体制，以确保信息化在教育中充分发挥出自身的价值。

生育率的概念篇5

【关键词】小学数学；概率与统计；随机观念；数学史；应用意识

“概率论与数理统计”是一门研究随机现象规律性的学科，它的理论与方法在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有着广泛的应用。在新一轮基础教育的数学课程改革中概率统计又受到特别重视，并在新课标中占据重要位置，在课程内容设计上，将概率与统计作为四个模块之一。作为小学师资的培养基地，为小学教育本科生开设概率统计课程就显得尤为重要。结合小学概率统计的内容要求，我们对该课程的教学进行了以下几方面的改革与探索。

一、引入概率史料，激发学生学习概率的兴趣

同其它学科的发展一样，概率论的发展有其自身不断发展和完善的历史，以及为此做出巨大贡献的众多数学家的趣闻、轶事和智慧的思想，这些历史不仅反映了概率论的主要内容，也介绍了概率的一般规律和思想方法。

例如，帕斯卡和费马对梅雷提出的掷骰子及赌资分配问题的研究史实，就引起学生对概率问题的极大兴趣。而将诸多数学家所做的抛硬币试验的历史引入课堂，有助于学生了解统计定义产生的过程、条件，加深对统计定义的理解。

二、注重随机观念的培养，真正把握概率的思想实质

概率研究的对象是随机现象，它是偶然的，但又有一定的规律，偶然中蕴含着必然；它总是通过对事件外显的数据研究，达到对事件本质的把握。概率并不提供确定无误的结论，这是由随机现象的本质所造成的。

例如，天气预报明天下雨的概率是10%，后天下雨的概率为90%，但实际上却有可能明天下雨而后天没有下雨。这并不是预报不准，而是我们对概率的理解有问题，我们不能在试验之前预知试验的确切结果，只能知道每个结果的概率，这有什么意义呢?事实上，如果天气预报“明天下雨的概率是90%”，那么明天你“带雨具出门”与“不带雨具出门”相比，“带雨具出门”是更明智的选择，尽管明天根本没有下雨。

随机性和确定性一样，也是一种科学方法。许多现象，都要从随机的角度探索。教学中应当注意转变学生的思维方式，帮助学生应该建立随机观念。

三、强化基本概型的理解，提高学习效率

教学中最为关键的是讲清模型，淡化复杂计算，让学生在遇到问题时，知道该如何选择模型，然后运算求解。在古典概型中，很多问题所涉及的模型在本质上是一样的，比如抽签、抽奖及抓阄等问题都是同一个概率模型。我们可以讲清楚一个模型，再给出一些相关的题目，让学生通过思索自己去发现这些题目在本质上是一样的，从而从本质上理解这一模型。

例如随机投球模型，假设把n个球随机投入到m只盒子中，如果盒子可放球数不限，显然有mn种等可能结果，如果每只盒子只能放一球，显然有个结果（m≥n）。很多问题都属于这一模型，如r个人从29层高楼的电梯中走出的所有可能结果，相当于把r个球投入29只盒子，共有29r个可能结果。又例如求50个人生日都不相同的概率，仔细分析50个人的生日所有可能的分布情况，相当于把50个球投入365(闰年为366)只盒子，每只盒子投球数不限，即有36550种投法。由此得到50个人的生日都不同的概率为≈0.03。当然，这一实例贴近生活，能激发学生应用概率的兴趣，也巩固了随机投球模型的理解。

四、联系日常生活、其它学科间的联系，加强应用意识

概率论与数理统计是建立在现实生活的基础上的一门应用性很强的学科。布置一些灵活的紧密联系实际的题目，让学生利用概率统计方法解决相应的问题，体味生活中的数学，这可以使学生得以深刻理解随机性、统计的本质和原貌。

例如关于抓阄公平性问题，有5个人抓阄，仅有一个有物的阄，问先抓后抓是否一样公平，我们就可以利用概率的乘法公式，分别计算每一个人抓到有物阄的概率，发现都是，由此知道先抓后抓一样公平。

又如，利用学生都有在计算机房上网的经历，会碰到网速非常慢的情况，是为什么呢？而局域网络的最大吞吐量问题，就是运用概率的思想和方法分析解决。引入这样一些实际问题，让学生自己分析解决问题，比较锻炼学生的能力。

在为小学教育本科生开设概率统计课程中，笔者在教学中进行了这四个方面的探索，经过该课程的学习，学生随机思维，应用概率统计方法提出问题、解决问题的能力都有明显提高，为其今后的教学工作做了有益的准备。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）[S].北京：北京师范大学出版社，2001．

[2]邓华玲等.概率论与数理统计课程的改革与实践[J].大学数学，2004，2(1)．

[3]徐清振，侯传志.传统概率统计教学的反思及其研究式教学初探[J].高教论坛，2007，6(3)．

[4]陆丽萍.小学数学“概率”教学的尴尬及归因探寻[J].江苏教育，2008（4）：30.

生育率的概念篇6

关键词：思辨数学；算法；概率统计；直觉思维

1思辨数学词源诠释

思辨数学一词是荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔（Freudenthal，1905—1990）首先提出的。他在名著《作为教育任务的数学》中举例诠释了思辨数学与算法数学的区别：设有相同数量的白酒与红酒各一杯，取一匙白酒倒入红酒内，使之混合，再取同量的一匙混合酒倒入白酒内。试问，白酒杯中所含的红酒比红酒杯中所含的白酒多，还是正好相反？答案是：两种含量一样多。然而解题方法有两种，一种是根据其取法操作，列出算式计算...另一种是这样思考的：设想每个杯子中的白酒和红酒是分开的，那么白酒杯中的红酒正是红酒杯中所缺少的部分，而它的空缺现在正好被白酒所填补。前一种解法是算法求解，后一种解法是思辨求解]。

显然，这是两种思维风格迥然不同的解法，解法一是逻辑性的算法求解，属于算法数学；解法二主要是直觉性的思辨求解，属于思辨数学。这里举例仅仅是为了诠释概率论中思辨数学与算法数学的区别。我们认为，思辨数学就是动态地辩证地把握概念和体味推据（这里把思辨推理的理论依据简称推据），凭借对概念的直觉和数学美的启迪（而非逻辑性的推理），产生直观的解题思路方法或做出合情推理决策。换言之，在直觉领引下，围绕推据，换位思考，思维在运动中觅到解题方法的一套数学知识体系。

德国数学家、数学教育家克莱因（KleinF，1849—1925）指出：“数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面，它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样，技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。”[4]克莱因这一论断，对概率统计教学具有重要的指导意义，把握思辨数学与算法数学的区分，它能为教学提供重心，对于贯彻概率统计思想方法为主线的教学大有裨益。

2概率统计课程中的思辨数学内涵透析

从思维的逻辑层面透析，概率统计知识内容可以分为两类，大部分是程序性的，有一些则是思辨性的。算法是程序性的，概率统计的演算中充斥着算法；然而，在概率演算题中也会遇到思辨求解问题，虽然这类题数量不多，但解题思维中颇富有理性精神，有着方法论的教育意义。特别值得一提的是，就产生数理统计一些重要方法的思想而言，思辨因素起着关键性的作用，从本质上讲，作为数理统计核心内容的统计推断也隶属于思辨数学的范畴，即思辨数学至少包含思辨求解和思辨推断两大模块。现分述如下：

2.1思辨求解问题

若对某些概率问题的题设条件进行分析，抓住题目中的关键概念，由对这些概念的直觉和思辨，就能引发解题的思AXB路和方法。具体说来，吃透问题的条件和结论，抓住起决定性作用的思辨因素，运用发散思维或逆向思维，进行类比联想或换位思考推理，进而恰当地引入辅助事件或辅助随机变量，就会建构和洞察到所研究的数学对象中蕴涵着的事件之间或随机变量之间的某种对称性、对等性或等可能性的关系。那么，这些事件、事件关系所遵从的一般的概率法则、统计规律或一些概率原理等就构成解题思维的支点，即推据；思维一旦受到这些推据以及数学中对称美的直觉启发，就会迅速地做出判断，寻到简便的解法，或直接给出答案。

2.2.1最大似然法（以离散型随机变量为例）

2.2.2最小二乘估计

回归分析的基本思想是首先根据样本组的分布特征以及对问题的思辨认识而先验地选定一个模型类型，然后求出（估计出）模型中相应参数。至于对参数的估计，一般采用最大似然估计法，具体到回归分析上叫做最小二乘法。所谓最小二乘法系利用拉格朗日条件极值原理，对所选模型在所给样本下，保证误差最小时，求得参数估计值[6]。说到底它也是一种思辨推断模式。

2.2.3假设检验

先根据统计目的对总体提出一个统计假设0H（也叫原假设），然后再由一次抽样的结果来检验这个假设是否可信，从而做出决策：拒绝还是接受这个假设。一方面，我们先假定0H是正确的，在此假定下，某事件A出现的概率很小，比如p(A)=0.05；另一方面，进行一次试验，如果事件A出现了，就是说在一次试验中就居然发生了小概率事件，那么根据直觉：“概率很小的事件在一次试验中一般认为是不会发生的。”（小概率事件原理，即推据）我们不能不怀疑作为小概率事件的前提假设0H的正确性，因而做出拒绝0H的决策；如果进行一次试验，小概率事件没有出现，则试验结果与假设相符，没有理由拒绝0H，因而只好接受0H。进一步归结出假设检验的一般步骤（略），即是算法程序，使概念的直观具体性有了一个逻辑思维的图式，如果没有这些逻辑模式，推理将变得没有质量。从根本上看，假设检验法是以小概率事件原理为推据的思辨推断模式。概言之，最大似然估计、最小二乘估计和假设检验本质上都是思辨的产物；从思维方法上讲，它们是思辨数学与算法数学有机的统一体；“思辨”当头，“算法”自然就在其中了。

2.3概率统计中的思辨数学之特征分析

2.3.1思辨求解问题与思辨推断的异同

思辨求解问题的推据具有确定性和真理性。。然而，思辨推断的推据则具有“或然性”，比如最大似然原理中的用词：“应该是”，并非“一定是”；小概率事件原理中的用词“一般认为是不会发生”，但并非“绝对不会发生”，可见思辨推断的结论则是概率逻辑意义下的必然。比如假设检验就是概率性质的反证法。故思辨推断理属合情推理。

思辨求解与思辨推断的共同之处，都是主体基于对概率统计领域的基础知识及其结构的透彻了解，基于对整个问题的理解把握以及已有的知识背景，使主体能跨越逻辑的思考而进入直念（即数学直观，形象观念）[3]，想象和直觉判断，以推据为准绳，迅速解决有关数学问题。

2.3.2思辨数学与算法数学的比较

由于思辨数学一词是相对于与算法数学的概念提出的，下面我们就其两者进行对比分析：

算法数学有具体化、程序化和机械化特点，又有抽象性、概括性和精确性；思辨数学有抽象化、模式化和直念化特点，又带有假定性、哲理性和启示性。

算法有算理，比如概率的公理、定理、性质等构成概率算法求解的基本算理。算理是算法的理论基础，算法是算理的具体体现；思辨求解和思辨推断有推据，比如对称性、对等性、等可能性、最大似然原理、小概率事件原理等构成概率思辨求解和思辨推断的推据。推据是思辨的理论基础，思辨求解和思辨推断是推据的实际表达。

与算法相比较，算法求解依据逻辑思维、逻辑推理，思维是纵向的、条理化的；思辨数学则依据认识之直觉，思维是跳跃性的、横向的和发散的。思辨求解的推理是非逻辑的；思辨推断是归纳性质的合情推理。

3提出思辨数学概念对概率统计教学具有的要义

关于思辨数学与算法数学的这种区分，在教学法上具有重要意义。传统的概率教学着眼于概率算法求解，重视运算规则和方法技巧，注重逻辑思维能力培养，忽视或根本不谈概率思辨求解，因为许多概率教材的例题与习题都鲜见思辨求解类的素材；轻视概率统计课程的基本概念教学，因而造成了概率思想、统计认识诸方面知识匮乏和直觉能力的缺失。比如统计推断是数理统计的核心，统计推断是对统计总体的未知数量特征做出概率形式表达的推理，鉴于思维上推与证的不同而分别提出了参数估计与假设检验，由此构成统计推断内容的两面。参数估计是根据样本数据对总体参数所作的“猜想”，而前提是样本与总体的同分布（即样本与总体的同质性）的假定；假设检验即对总体特征做出的一种假设，然后根据样本信息对这一假设的支持程度做出描述。前提同样都是样本与总体的同分布的假定。从哲学层面讲，它们探讨的都是共性与个性的辩证关系。

从战略上看，由样本推断总体具有归纳性质，从战术上看，最大似然估计法与假设检验的解题程式中的样本值nx,x,,x12􀀢又非具体的数值，因而具有演绎性质，所以最大似然估计法和假设检验是归纳与演绎的辩证统一。对于统计推断内容的教法，目前多数教学已落入算法化、程式化的俗套，把参数的最大似然估计和假设检验作为一套处理问题的规则或算法来教；2003年出版的《Mathematica基础及数学软件》一书，把参数的最大似然估计和假设检验按算法编程由计算机来做[7]，毫无思想。诚然，数学教育不应该拒绝计算机的渗透，特别是统计推断问题常会涉及一些烦琐的数据统计和计算，借助于计算机可节省大量的时间和精力。但是，数学方法的内核是数学思想，由于意识不到统计推断是思辨数学体系，所以容易忽视产生统计推断方法所依赖的统计推断思想、策略及其思维活动过程的教学，以致学生不能目睹数学过程的形象而生动的性质，体悟不到统计推断方法中蕴涵的概率思想，更达不到思维训练之效。诚然，给学生一个可仿效的范例，就足以教会一个算法，尽管这样的教学，学生学会了套用统计推断的解题步骤，可能会做对若干道数理统计习题，但是对统计推断的思想实质和认识机制理解不深。比如，有学生在用最大似然估计法解题时，先把具体的实测数据带入似然函数的表达式，再作取对数、求导、求极值点的运算；有的学生在假设检验解题中，在写到最后一步：“拒绝H0”或“接受H0”时就搁笔了，把“即认为...”这句关键的陈述语省略了不写。不难想到，他们对样本的二重性以及最大似然法所使用的辩证逻辑思维领悟不透彻；对统计推断所表达的非决定论的因果关系规律认识不到位。一句话，对最大似然估计和假设检验方法的本质思想，缺少深层的思考。传统教学的结果只会给学生留下这样的印象：数理统计是装着一筐子的“算法”。这种只强调算法与规则的数学课程，正如只强调语法和拼写的写作课程一样，都是一种本末倒置。

任何一门数学学科都是由概念和技巧支撑的；若能区别概率统计教材中思辨数学与算法数学，区分或认识思辨数学的结构，这就意味着预先设定将它们作为思维训练来教，其意义在于强调思辨因素，强调概率统计思想方法形成的思维活动的过程，自然也是强调了以概念为本的课程教学模式。

3.1凸显以概率论为基础的统计思想以深化统计认识

毫无疑问，概率论是统计的运载工具，统计思想是统计方法的灵魂。按照思辨数学模式讲授统计推断，能够更好地揭示和表达统计思想，深化统计认识。因为贯彻三段论即：“在某种假定（假设）...之下，一方面...另一方面...，依推据则有...”的思辨推断模式，势必强调深刻理解概念和推据，充分展示换位思考中的思辨原理与辩证思维方法，这就凸显了以概率论为基础的统计推断思想。比如假设检验，如果统计假设被理解为构成概率计算的基础的话，那么，看来极不可能的某个事件发生了，那就有悖于常理，于是统计假设认为是小概率的事件的发生，将是一个反对该假设的证据，并且这种概率越小，其证据越显得强有力。又由于在统计检验的逻辑中，前提与结论之间的逻辑蕴涵不再是必然的，而是一种概率蕴涵。换句话说，概率解释中的解释前提是假说，所以得到的逻辑必然的推论是可能的概率解释。而在概率解释中，对个别事实解释的概率性与统计规律在每一个别情况下无法实现这一规律联系着，因为统计规律是大数定律，它仅在大量观察或多次试验中才能出现。因此在统计规律上所作的关于个别事实的结论，只能解释这一事实的可能性，而不是它的必然性。因此，“接受”中的“纳伪”和“拒绝”中的“弃真”这两类错误不可避免的发生充分说明了这一点。

3.2强调数学思辨对培育直觉能力具有独特功效

数学强调思辨性。弗赖登塔尔指出：“算法是好的，数学中的常规也是不可避免的。”[1]诚然，对数学来说算法具有极大的重要性，代数、微积分、概率中都有算法。当前教学的强烈趋势就是盛行算法化[1]。将一个领域算法化是更容易超越该领域的一种方式[1]。然而，现代数学之不同于古老数学，在于它强调的是思辨的因素而不是算法[1]。最引人注目的新生事物，也就是引起现代化过程发生的事物——集合论、抽象代数、分析学、拓扑——都是思辨的产物。它们是冲破算法的僵化的外壳喷射而出的[1]。同时弗赖登塔尔还指出：算法数学与思辨数学的关系是辩证的，不能把它们看作是新与旧、高与低的对立。从培养数学思维能力的层面看，算法数学与思辨数学好比“算术和几何正是作为互相的直接对立面在智力上发展起来的，但这并不表明因为喜欢其中一个就应该把另一个贬低。相反，教学应该将这种发展继续下去”[8]，教学应该像重视算法数学一样重视思辨数学，但问题在于目前的数学教育现状，人们有些重算法而轻思辨的倾向。概率统计的思辨求解和思辨推断解决问题的重要策略和特点是：对具体问题作具体分析，以已有知识和经验为背景，在直觉领引下发掘问题中蕴含着的思辨因素，寻找到推据或生成推据，以推据为支点，凭借直觉展开思辨推算或推断。其思维方式是直觉的。从心理学视角看，思辨数学是直觉思辨的产物，它是思维对那种隐藏于数学对象深层的数学事物关系间的和谐性与规律性的感受，正是这种感受把知识空间投影和净化成那幅心智图像。显意识和潜意识沟通形成顿悟，进而达到直觉思维的目标。

因此，强调思辨数学，必然注重培育直觉能力。思辨求解不仅能增加和丰富学生概率解题的方法策略，而且对其直觉思维乃至创新能力的培养大有裨益。克莱因说过：“在某种意义上讲，数学的进展主要归功于那些以直觉能力著称的人多于那些以严谨证明著称的人。”

3.3透过思辨求解法感悟数学方法的奇异美

思辨求解法的产生离不开直觉，数学直觉本质上就是“美的意识或美感”。美的意识力或鉴赏能力越强，发现和辨认隐蔽的和谐关系的直觉能力也就越强。数学审美意识是产生数学直觉、爆发数学灵感的“刺激素”。

思辨求解法的思想性强，其方法直观，运算简捷，甚至用不着计算就能直接获得答案。从思辨求解法产生的心理机制来看，其思维空间是动态的；每一个具体的思辨性解法，无不联系着主体解题的思维运作：数形结合，动静联想，等价语意转换，整体性把握思考，以及受到数学美的启迪等。它把数学表达式的对称美、数学关系的和谐美、数学方法的简洁美、数学思想的思辨美发挥的淋漓尽致。奇妙的解法闪烁着智慧之光，常给人以精神上的愉悦和满足。

“奇异性与思辨性是密切相关的，奇异性的结果会导致数学的新进展，而思辨能引起人们的思索，调动人们的想象，帮助人们对未知事物作深入地理解、把握和预见，促使人们去追求数学中内在旋律。”即追求数学美的旋律。

［参考文献］

[1]弗赖登塔尔。作为教育任务的数学[M]。陈昌平，唐瑞芬译。上海：上海教育出版社，1995。

[2]KennethHR。初等数论及其应用[M]。夏鸿刚译。北京：机械工业出版社，2009。

[3]张奠宙，戴再平，唐瑞芬，等。数学教育研究导引[M]。南京：江苏教育出版社，1998。

[4]刘培杰。数学奥林匹克与数学文化[M]。哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008。

[5]蔺云。用随机方法证明一类组合恒等式[J]。高等数学研究，2003，（2）：32。

[6]高隆昌。数学及其应用[M]。北京：高等教育出版社，2001。

[7]阳明盛，林建华。Mathematica基础及数学软件[M]。大连：大连理工大学出版社，2003。

[8]弗赖登塔尔。数学教育再探：在中国的讲学[M]。刘意竹，杨刚译。上海：上海教育出版社，1999。