线上教学问题研究范例(3篇)

线上教学问题研究范文

关键词：中学数学；学生；提问能力；实验研究

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1009-010X（2015）06-0066-03

数学课程标准明确要求培养学生提出问题的意识与解决问题的能力。所以，教师必须努力培养学生提出问题、解决问题的能力。随着对“问题解决”研究的逐步深入，我们发现，仅强调问题解决是远远不够的，“问题提出”能力的培养更有价值和意义。但是，在现实的教学中，学生问题提出的意识与经验明显少于问题解决。因此，问题提出是一个值得深入研究的课题。

一、数学问题提出能力培养的研究背景及意义

（一）理论意义

本研究将从教育理论的角度对中学生缺乏发现并提出问题的能力及其成因进行比较全面、深入的研究，为课堂教学改革提供一些理论依据，丰富初等数学教学理论。

（二）应用价值

培养学生提出问题的能力，有助于发挥学生的主体作用，激发学习动机；有助于活跃课堂气氛，提高教学效果；有助于培养学生追求真理的精神，提升创新意识和能力；有助于学生掌握有效的学习方法，提高学习能力。

我们研究的创新点有二：

创新点一：在数学能力发展研究中，心理学的研究对象常局限于年幼儿童，以中学生为对象的研究很少。因此，课题组将以中学生为研究对象展开行动实验研究。

创新点二：构建数学课堂的问题解决模式。即从对初始问题的连续再阐述开始，提出一些连续的精炼的问题，进而提出更能体现已知信息与目标之间关联的问题。在系列问题提出的同时，将问题解决的总目标分解为分目标，通过分目标的达成，实现对问题的最终解决。

二、数学问题提出能力研究的目标与内容

（一）研究目标

期望数学课堂在问题提出中开始，又在提出新问题后结束。即教师先诱发学生提出问题，在解决问题的基础上再引导学生进一步提出更多、更广泛的新问题、好问题，这些问题能使教学活动无止境地进行下去，引发学生探究的强烈欲望，促使他们走上创新之路。

（二）研究内容

1.中学生数学问题提出的类型。

2.中学生数学问题提出能力的发展特点和规律。

3.中学生数学问题提出能力的影响因素。重点研究数学知识和技能、成就动机、自我效能、数学信念和课堂环境等因素的影响。

本课题分四个子课题展开研究：

一是关于中学生数学问题提出能力与教师因素关系的研究。本研究采用访谈法，考察石家庄市长安区中学数学任课教师对学生问题提出的认知，包括：教师对学生提出“有价值的问题”的界定和判断标准；教师对学生问题提出类型的分类；教师对学生问题提出的态度及反馈行为特征；教师对学生问题提出功能的认识。然后，根据访谈结果和文献资料，编制《中学生问题提出行为调查问卷》。

二是关于中学生数学问题提出行为的类型与发展特点研究。我们从课题主持人所在区的四所完全中学，选取初一至高二年级学生400人，采用访谈法、问卷法。主要工具是研究编制的《中学生问题提出行为调查问卷》。对该问卷进行因素分析后，确定问题提出行为包括的维度。重点分析学生问题提出类别的总体分布特点和发展特点，并比较不同问题提出类别学生的自我效能特点，进行学业水平比较。

三是关于中学生的数学问题提出能力与水平的发展研究。该实验设计是4×5×3完全随机设计，自变量是4所学校、5个年级、3种类型（优等生、一般生和学困生）被试，因变量是数学问题提出能力的发展水平，主要工具是《中学生数学问题提出能力问卷》。该问卷属于开放性问卷，重点分析不同年级学生在回答问题时的特点，探讨学生的数学问题提出能力发展的趋势。

四是关于中学生数学问题提出的影响因素研究。

三、数学问题提出能力研究的方法

我们采用访谈法、问卷法。主要工具是《中学生问题提出行为调查问卷》、《中学生数学问题提出意识、态度问卷》、《中学课堂环境调查问卷》等。问卷设计是参考康武的相关研究，并依据我区学生实际水平做适度改编。

四、数学问题提出能力研究的初步探索

本研究大致分为三个阶段：在理论准备阶段主要调查、收集相关课题材料，拟定子课题，确定研究方案与步骤。在正式试验阶段主要提炼归纳阶段性成果，围绕本课题主旨，进行深入的分析与研究，首先，探索让学生敢于提问。在传统教学的影响下，学生习惯于解决教师或教材提出的问题，而不习惯也没有机会自己发现问题、提出问题。学起于思，思源于疑，疑则诱发创新。质疑是思维的导火索，在教学中，教师要根据学生好奇心强的心理特点，有意识地设置“问”的情境，使学生形成认知冲突，主动地去发现问题、提出问题、解决问题。

（一）创设问题情境，激发求知欲望

学生学习的主动性和创造性与教师思维的灵活性和丰富性密切相关。因此，教师应该带着思维的创造性进入到课堂教学情境中去，为学生提供敢想、善想、敢于提出问题的创新学习的良好情境。良好的教学问题情境，可以有效抓住学生心理，使学生产生强烈的求知欲望。通过教师创设问题情境，引导思维方向，可清晰地发现学生经历了“疑惑――猜想――解决”等一系列创造性思维过程，也看到创设好的问题情境，能更好地激发学生的求知欲望。

（二）鼓励质疑，培养学生的提问意识

爱因斯坦说过：“提出问题比解决问题更重要。”提出问题是一种高水平的能力，学生在学习数学过程中，会不会提出问题是学习是否进入状态的标志，敢于和善于提出问题是创新精神的具体表现。教师应该多鼓励、多引导学生质疑。通过鼓励，使学生由不敢提问到敢于提问；通过引导，逐步做到善于提问。从敢于提问到善于提问是一个飞跃过程。在这个过程中，教师要保护和扶持他们的热情，要不断提高他们质疑的质量，要认真研究学生的思路，教给学生提问的方法，善于发现和捕捉好的提问，带动全体学生积极参与，促进学生积极主动的学习。

在一次数学课上，有这样一道题：如果点A、B、C在一条直线上，AB=3cm，BC=2cm求线段AC的长。此题有两解，一种情况是点C在线段AB上，一种情况是点C在线段AB的延长线上。教师在讲解时，把直线AB画成了线段AB，一学生指出，应该把线段AB画成直线AB，才符合题意。这位教师及时纠正了自己的疏漏，并送给该生一句“你真爱动脑筋，考虑问题很仔细，我们大家都要向你学习。”当即赢得同学们赞许的目光。老师的鼓励和赞许肯定会促进全班的同学来关注质疑。

（三）在一题多变中培养学生的问题解决能力

在平时教学中，要精选例题，对学生进行灵活多变的变式训练。如采用改变叙述方式，改变量的关系，改变设问的角度或因果关系，改变已知条件，改变题目结论，改变题目类型等变式。促使学生从不同角度、不同方向进行剖析，从多个方面进行思考，促使学生从顺、逆、侧等不同角度进行创新意识的训练。例如：已知线段AB上有一点C，可有多少条线段？如果有两点C、D，可有多少条线段？若在线段AB上有三点C、D、E，总共可有多少条线段？若在AB上有n个点时，总共有多少条线段？

分析：若AB上有一点C，则共有2+1=3条线段（注意数的方法指导）。

若AB上有两点C、D，则共有3+2+1=6条线段。

若AB上有三点C、D、E则共有4+3+2+1=10条线段。

以上分析启发我们得到：若AB上有n个点，则共有（n+1）+n+…+2+1=条线段。

变式1：若在三角形的一边上有一点，有两点，有三点，有n个点，共有多少个不同的三角形？

变式2：（1）在下图所示的每个图形中，各有多少个正方形？（2）若正方形各边上有n个等分点又可形成多少个正方形？

在数学教学过程中，教师应时刻注意培养学生的问题意识，引导学生提出有价值的问题，并且让学生积极地去探索，不断去寻找不同的解题方法，学生的数学思维能力才能得到有效发展，学生才能自觉地走上创造性学习之路，数学教学将会取得良好的效果，事半功倍，学生数学素养也将全面得到提高。

参考文献：

线上教学问题研究范文

[关键词]理解性教学数学理解问题解决线性代数

[中图分类号]G421[文献标识码]A[文章编号]2095-3437（2014）01-0091-03

线性代数是一种语言.在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了.[1]线性代数课程目标的取向是帮助学生追求智力的卓越发展，数学能力和数学素养的提升.瑞典数学家LarsGarding指出：“如果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多，然而按照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型……这就带来了教学上的困难.”如何让学生更好地掌握线性代数的基本理论，熟练运用线性代数的核心思想与技术，一直是备受关注的课题.

自20世纪80年代以来，人们倡导将知识与其应用情境联系起来的教育方法，建议通过支持探究、应用、问题解决的学习来支持发展21世纪技能。[2]在这样的背景下，我们的具体做法是：以教学问题为出发点，从课程、教材和教法三方面做了全方位探索，精心设计教学问题，认真组织、实施教学，既有理论研究，又有实践创新.

一、准确定位，构建线性代数课程体系

“问题解决”被教育专家称作“21世纪课程的基础”.在此观点下，课程的基本单位就是“问题”，课程改革的主要任务是“重新组织”课程，即通过问题设计来组织课程内容.自2007年以来，我们从线性代数课程结构、与相关课程的关系等方面开展了课程内容研究.

（一）基于问题解决理论，构建线性代数课程内容体系

我们运用“问题解决”理论对线性代数课程内容作了梳理，将科学研究方法融入课程教学，以期在教学实施过程中对促进学生的概念性理解起一定的作用.对于非数学专业的学生来讲，线性方程组的求解、矩阵的对角化判定和二次型的化简是该课程的三个核心问题.针对以上三个问题，从知识准备的角度将行列式、矩阵和向量等基础知识作为课程的基础内容，循着知识发展的轨迹，逐一展开三个核心问题，形成“基础知识+问题解决+应用”的课程内容框架.[3]这样，有利于帮助学生建立线性代数知识体系架构，形成对课程的整体性的认知.知识模块顺序及关系如图1：

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图1知识模块关系图

教学设计时再将每个章节的教学内容拆解为若干易于理解的单元问题，而具体概念或定理的教学，采用构建问题“链”来组织，这种问题链的作用正像一颗颗珍珠串成一串，弯一个小指头就能把它轻轻提起来.这种加工，在加强知识联系的同时，提高了教学效率.[3]同时方便在课堂教学中采用问题来引发学生的学习动机、思路和行为.

（二）加强相关课程联系，高观点理清数与形的关系

根据教学的需要，我们开展了线性代数与解析几何、微积分、概率统计、矩阵论等课程之间联系的研究，打破大学数学课程之间的界限，利用综合问题加强相关课程内容上的联系与整合.从“行列式的几何意义及其应用”和“几何直观在线性代数教学中的应用”等视角，引导学生利用几何直观来理解抽象的代数概念.从“如何用函数思想解线性代数问题”探讨了微积分与线性代数的联系.借助数学模型介绍矩阵在概率统计课程中的应用.相关课程关系结构如图2：

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图2课程联系关系图

对于线性代数与矩阵论（后续课程）关系的研究，则是从矩阵范数、矩阵的若尔当标准型和线性空间等概念入手，进行讨论.目的是让学生了解课程的发展趋势，接受课程的热点问题，在接受课程前沿知识的过程中体验创新的方法、创新的方向.这是对学生知识体系的完善，有利于学生创新思维的发展。

二、精益求精，打造线性代数精品教材

教材是整个教育教学工作的重要组成部分，高质量的教材及教学资源是培养高质量人才的基本保证.线性代数教材作为该课程教学的知识载体和教学的基本工具，直接关系到课程教学能否为培养创新人才服务.依据教育部颁发的“线性代数课程教学基本要求”和“硕士研究生入学考试大纲”，结合普通综合性大学学生的实际情况，编写了线性代数教材.2007年，由机械工业出版社出版的《线性代数（第2版）》是国家十一五规划教材.2011年，我们吸收研究成果，再次对教材作了修订，形成如下特色：

（一）内容宏观组织合理，逻辑结构清晰明了

“问题解决”作为教学目的，教学过程要求把课程的基本概念、原理及特有的研究方法编入教材.以矩阵为编写主线，辅以线性空间，遵循了由浅入深、难点分散的原则，做到了删繁就简，加强基础.围绕矩阵的等价、相似和合同，把线性方程组求解、矩阵对角化判定和二次型标准形问题与之相对应，利用矩阵的分块将主要内容有机地联系起来.“矩阵的秩”和“向量组的秩”分章而居，难点分解.向量与线性方程组合并编在同一章，有利于用非齐次线性方程组理解线性表示，用齐次线性方程组理解线性相关和线性无关，让矩阵的初等变换很好地为线性相关性理论服务.二次型和矩阵的相似对角化内容单立成章，突出课程问题.内容阐述采用“几何观点”和“矩阵方法”并重，便于学生通过几何背景理解代数概念，从几何背景中获得解决问题的启示.

（二）反映数学文化价值，展示课程应用背景

数学文化是促进数学教学的有效工具，数学从生活中来，最终应该回归于生活.我们以线性代数知识为载体，挖掘了课程若干知识点的文化内涵，为教学中能更好地渗透数学文化，达到“润物细无声”的教学目标作了资源上的准备.教材中设置“历史寻根”栏目，选择行列式、矩阵、向量和线性方程组等概念，对线性代数课程做出贡献的数学家凯莱、克莱姆、范德蒙、莱布尼兹和若尔当等作为融入点，让学生开阔眼界，提高素养.

数学应用的恰当介绍能帮助学生产生数学情感和强烈的学习动机.教材以线性代数知识为载体，通过“方法索引”和“背景聚焦”栏目，介绍重要的数学方法（解析几何中的行列式、数学归纳法等）和数学应用（矩阵密码法、天气的马尔科夫链、面貌空间等）.[4]为学生深刻理解数学、正确运用数学方法，感受数学的威力提供素材.由于教材使用的专业较广，所以在实际使用中，对促进大学生文理知识的交融也发挥着积极的作用.

（3）习题设置难易得当，补充内容定位恰当

数学习题是解决问题的载体，它在帮助学生掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法，发展学生的情感、态度与价值观方面有着不可替代的作用.如果把数学知识作为解决现实问题的工具，把“解决问题”作为数学教学的出发点和落脚点，那么，习题就是学生把知识用于实际的初步实践，实现自我的梦工场.我们从知识掌握功能、应用背景分析和文化教育价值三方面探讨，提出习题设计重视课程内涵，反映知识的层次；习题设计关注生活背景，反映课程的应用；习题设计体现数学文化背景，增加习题的趣味性等观点.[5]

运用研究成果，精心设计、编写了线性代数课程的教材习题、配套训练题、专题解析典型例题和考研模拟题.习题设计时，注意沟通各部分知识技能之间的联系；反映习题在现实生活中原型，编入适当合理的有教学情境的生活背景内容；注意触及学生的心理现实.根据课程的特点，通过趣味性的习题设置悬念，揭示矛盾，引起学生的认知冲突，引导学生生疑、释疑.把思维教育作为潜在目的，把数学理解作为新目标.

三、更新观念，营造丰富多彩的数学课堂

教学只有符合受教育者的心理发展特点和规律，才有可能取得良好的教学效果.日本教育学家菊池章夫曾经指出：“心理发展的水平与特点是教育的起点和依据，是教育的前提.”在对课程内容研究、打造教材的同时，根据大学生的心理特点，我们需要更新教学理念、精心编排教学案例、积极尝试研究性教学.

（一）更新教学理念，让学生成为问题的解决者

数学问题解决，指学习者面对初次碰到的问题时，在对原有数学概念、原理重新组合过程中进行创造性学习的过程.[6]在教学过程中，尊重学生的认识规律，在问题解决和现代建构主义教学理论指导下，根据教学内容，我们开展了启发式、探究式、发现式教学，努力将线性代数内容的学术形态转变为教育形式.

与传统教学相比，基于问题解决的线性代数课程教学设计成功地确立了学生的主体地位和教师主导角色.教学中遵循“学习是一种过程，而不是结果[7]”的原则，教师给学生提供的是探究知识的问题情境，而不仅仅是知识.教师为学生更好地理解数学而营造知识环境、挖掘学生的学习潜能，学生积极参与教学过程，在问题解决的过程中亲身实践.学生的主体地位和教师主导角色得以确立.课程教学迁移模式如图3：

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图3课程教学迁移模式图

在教学中，我们不是以学生学会线性代数中某种方法作为教学的终点，而是鼓励学生自己生成学习项目.比如矩阵等价理论的教学，从初等变换的引入，初等矩阵概念的形成，到等价标准型定理的证明，都围绕问题“矩阵求逆方法的改进”来组织，根据学生的已有知识经验设计教学问题，引起学生对结论迫切追求的愿望，激发学生的认知冲突.将问题结论的寻求过程、方法的思考过程、规律的揭示过程等还给学生，让数学“冰冷的形式”背后的数学思想呈现给学生，在进行了火热的思考后实现代数知识与技能的“同化”和“顺应”.另外，解题是数学教学的重要组成部分，我们设计了一些特定问题作为学生巩固和消化所学知识并转化成为技能，吸收线性代数思想的重要环节.

（二）渗透数学理论的文化内涵，提升学生的数学素养

课堂教学中，我们以介绍重要概念的创建和演变、重访定理的发现时刻、再现问题的解决过程等形式作为数学文化有机融入方法，以润物细无声的方式来传递数学理论的文化内涵，呈现一个个丰富的课堂，给学生以广博的文化浸染.如初等行变换概念的教学引入，提供了《九章算术》中解方程组的“直除法”和高斯的“消元法”的问题背景，学生在学会知识的同时了解到概念的来龙去脉，让问题背景下的线性代数课程中的教学内容变得“鲜活”起来.让学生在文化层面体验了数学的价值和魅力，提升了数学修养.

（三）以课程网站为平台，关注学生良好学习习惯的养成

问题背景下的现代化教学手段的运用，以课程网站为平台，拓展课程资源.借线性代数是校级精品建设课程的契机，推进课程网站建设，设置了课时讲稿、电子课件、反例仓库、模型介绍和考研辅导等有特色的栏目，给学生提供更多的课程资源和个性化学习空间，努力让学生在自己构建知识系统的过程中，锻炼获取知识的能力.教学手段的改善，不仅激发学生学习兴趣，还丰富了教学方法，提升了课程内涵.[7]

（四）强化应用意识，培育大学生的创新实践能力

知行统一是人才培养的要求，也是社会对人才能力的期望.根据大学生思维的辩证性成分增多、创造性程度提高，能够更好地调节和控制自己的思维活动的特点，我们通过对一些具体问题（如矩阵加密，Fibonacci数列通项公式，面貌空间等）进行数学建模，让学生在运用知识解决问题的过程中思维得到锻炼，创新意识得到加强.如特征值和特征向量的教学中，引入求Fibonacci数列的通项公式问题.利用二维向量及二阶矩阵表示Fibonacci数列的本质关系fn+2=fn+1+fn，求数列通项公式问题转化为计算矩阵的高次幂问题.如何计算呢？矩阵相似对角化条件的讨论成为教学的现实需求，这样矩阵特征值和特征向量便成为呼之欲出的教学内容.在“基于全息元的线性代数课程的教学研究”中带领学生研究全息现象在数学教学中的应用，探讨如何运用数学全息现象充分调动学生的学习积极性，从而提高教学效率.学生在经历问题解决的过程中，接受了数学建模的思想，增强了创新意识.在数学学习中，“理解”无疑是第一位的，而“数学理解”已成为继“问题解决”之后当今世界数学教育界所关注的又一中心话题（PMENewsMay1997edition，MathematicsForum）.本研究是大学数学基础课建设的一次尝试，“问题解决”理论运用于课程教学的一次实践.虽然“为理解而教（TeachingforUnderstanding）”作为一种重要教学思想已经逐渐被数学教育界所接受，但是真正实现理解性教学，提升大学数学基础课教学质量仍任重道远.

[参考文献]

[1]COMAP著，申大维等译.数学的原理与实践[M].高等教育出版社，1998.

[2]琳达·达林—哈蒙德等著，冯锐等译.高效学习：我们所知道的理解性教学[M].上海：华东师范大学出版社，2010.

[3]陈建华，李立斌等.基于问题解决的线性代数课程教学设计研究[J].高等理科教育，2011（4）：21-23.

[4]陈建华，刘金林，魏俊潮.线性代数（第3版）[M].北京：机械工业出版社，2011.

[5]陈建华，李立斌.线性代数课程习题设计研究[J].教育与教学研究，2011（10）.

[6]包蕾.数学问题解决研究的主要问题及发展趋势[J].数学教学研究，2008（9）.

线上教学问题研究范文篇3

【关键词】概念要素；旋转中心；旋转方向；旋转角度

“图形的旋转”被多个省市作为初中数学优质课评比课题，并不是因为学习的内容多的缘故，更重要的原因是本节课是一节典型的数学概念生成和概念性质探索课.教师怎样引导学生抽象出旋转的概念？如何从概念出发引导学生得出旋转的性质？教师如何把看似分离的东西联系起来，如何把较多的内容进行恰当的取舍，如何引导学生学会数学地思考？如何就教学内容通过创设情境、设计问题进行有效的学习引领，使得学习过程顺乎自然.

下面借助于初中数学青年教师优秀课观摩与评比活动关于“图形的旋转”（苏科版）的教学片段进行分析，阐明“深悟概念要素，研获思考方法”的道理，以此昭示同仁，引发思考.

1感悟生活明确目标，直观辨别激活经验

教学片段1

师：同学们，前面我们学习过哪些图形的变换方式呢？图1生：平移和翻折.

师：请同学们欣赏一组图片（图1），你能根据图形的运动方式给它们归归类吗？

生：①，④，⑨（平移）；②，⑤，⑦（翻折）

师：剩下的这些属于哪一类变换方式呢？

生：旋转.

师：非常好，今天我们就来认真地研究一下《图形的旋转》.【板书】

师：请大家回顾一下，我们当初是怎样研究平移和翻折的呢？我们可以从哪些方面去思考？

生：……

分析与思考课本直接给出几个旋转图形，让学生说说旋转现象，这样的安排指向性太直接，没有比照对象参考，也不利于学生感悟对象的本质，领悟概念的要素.教者怎么处理好呢？首先考虑到了学生原有的知识基础，从学生的最近发展区开始新知识的学习，让学生回顾已经学过两种图形的全等变换：平移和翻折.由于七年级学生更喜欢直观事物的刺激，教者可以将混有平移、翻折和旋转的平面图形让学生鉴赏，让学生充分感受旋转的平面图形与平移、翻折的平面图形的不同，同时进一步引导学生回忆研究平移和翻折是怎么进行的，这样就激活了学生原有的学习经验，自然引出了对应点、对应线段、对应角、对应图形等数学概念，让学生领会研究点、线、面问题都可以归结到研究点的问题、研究几何图形立足研究图形的位置和大小的数学研究问题的方法，在动与不动、变与不变中洞察事物的本质特征.下面的学习过程就成了感悟概念要素，类比生成概念、类比研究性质了.后续研究问题的目标和方向明确了，学生思维的匣子打开了，这就为后续的深入学习打下了良好的伏笔.

2操作观察抽象比较，确认要素生成概念

教学片段2

师：什么叫做图形的旋转呢？请同学们用数学眼光看一下图形的旋转.

师：如图2，它们有什么共同点？哪些不同点？

生：共同点：都围绕一个点在转动.不同点是左图是顺时针，右图是逆时针.

图2师：如图3，它们有什么共同点？哪些不同点？不同点是左图旋转幅度大，右图旋转幅度小.

生：共同点：都围绕一个点在逆时针转动.

图3师：你能根据刚才的比较说出旋转的定义吗？

生1、生2等几名同学先后描述，逐步完善……

师生归纳定义：在平面内，将一个图形绕一个定点（按某个方向）转动一定的角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个定点叫旋转中心【板书】，这个方向叫旋转方向【板书】，旋转的角度称为旋转角【板书】.

师：旋转中心、旋转方向和旋转角就是旋转的三个要素.

……

分析与思考许多参加优质课评比的老师对旋转概念形成处理非常草率，上述教学片段处理也不深刻.

事实上，教学中可以让学生可以从混有平移、翻折和旋转的平面图形欣赏中，找出与平移、翻折的平面图形不同的图形，由学生说出“旋转”一词而非教师的给予，自然过渡到寻找不动点、寻求旋转特征的任务上来.学生能够充分体验了从现实生活中感悟数学、由欣赏平面图形抽象出数学模型的数学化过程.根据研究一般事物的特征总是从研究特殊案例开始的规律，引出课本P74页操作实验1、2，操作实验1、2中不动的点一个在直角顶点处，一个在三角形外，不动点还可以在什么地方呢？教师的点拨，会让学生想到不动点还可以在三角形的其它顶点处、在边上、在形内或在形外，我们只是以两个特殊对象来研究，在三角形的旋转过程中感受旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.当然在旋转概念未给出前并不一定要准确说出这些概念词语，教者不妨引导学生尝试给旋转下定义，在教者的引导下不断充实定义的内涵，最后抽象出旋转的定义.

对于旋转概念的理解，教者应当引导学生关注三点：

1.定义可以更加严谨.苏科版教材的定义中：“旋转的角度称为旋转角”，我们可以将其改为“转动的角称为旋转角”，况且让学生进行这样的改正，也有利于培养学生不迷信课本、不迷信权威的良好个性品质.

2.要素可以包含三个.苏科版教材认为旋转包含二个要素：旋转中心、旋转角度.可能是考虑到高中阶段角的概念本身就包含方向的缘故.人教版、华师版教材都认可旋转包含三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.

3.反例有助理解概念.对旋转概念的理解，不妨编制一些旋转中心发生变化或是旋转半径发生变化的反例，也可以通过旋转方向、旋转角度的变化让学生感受到旋转的效果不同.

3研究要素升华经验，灵动生成完善体系

教学片段3

师：我们已经初步掌握了旋转的相关概念，下面我们就一起来探究一下旋转过程中还有哪些相等的元素.刚才我们已经从整体上看，旋转前后的图形是全等的.我们再从局部研究，旋转过程中还有没有一些相等的线段呢？

师：同学们想一想：图形平移和翻折时，变的是什么，不变的是什么？

生：位置在变，形状、大小不变.

师：那么图形旋转前后呢？

生：和平移、翻折一样，位置在变，形状、大小不变.

师：那也就是说，旋转前后的图形是全等的.【板书】

师：全等图形又有哪些性质呢？

生：对应线段、对应角相等.【板书】

图4旋转的性质：线.

问题1：如图4，将ABC绕点O顺时针方向旋转.图中除对应线段相等外，还有那些相等的线段？

师：让我们一起来看看旋转过程的动画，边看边观察.（演示旋转动画）

生：OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′.

师：这可能只是我们观察中的一个猜想，还不能成为结论.那我们还要做什么呢？

生：验证！

师：那就请同学们打开书到74页测量图32中OA、OA′；OB、OB′；OC、OC′.

一会儿之后……

师：它们相等吗？

生：相等.

师：好，通过验证，我们猜想的结论是正确的，你能用一句话概括我们发现的结论吗？

生：每对对应点到旋转中心的距离相等【板书】

师：旋转过程中还有没有一些相等的角呢？（继续播放旋转动画）

图5旋转的性质：角.

问题2：如图5，将ABC绕点O顺时针方向旋转.图中除了对应角相等外，还有那些相等的角？

生：（可能答出其他的一些角相等）

师：图中的∠AOA′、∠BOB′、∠COC′是什么角？相等吗？

生：相等.

师：这仍然是一个猜想，还要干什么？

生：验证！

师：打开书P74用量角器量一量，看是否相等？

生：相等

师：你能概括成一句话吗？

生：旋转角彼此相等.

师板书：每对对应点到旋转中心连线的夹角相等.

分析与思考课本上旋转的性质是紧接着旋转的概念给出的，没有分析的过程，作为教者应该怎样处理更好？

类比平移性质归纳的思维规律，可以考虑分别从整体、局部和点进行比较，即考虑旋转前后两个图形的全部、对应线段、对应点.我们知道图形的全部和对应线段都是由点构成的，研究图形的全部和对应线段问题可以化归为研究对应点的问题，让学生通过“连”（连结对应点到旋转中心的线段）、“量”（量对应点到旋转中心的连线的夹角、量对应点到旋转中心的距离）和“比”（比较确认），从而得出课本上给出旋转的性质.在实际教学过程中，教者给学生上述的引导，学生必然会从系统角度思考问题，甚至课堂上提出探讨对应线段性质问题.

即便如此，我们仍然有一个感觉：学生是在教师的“引导”之下思考问题，而不是学生自己发现问题，提出问题，然后再研究问题.学生做到了“知其然”和“知其所以然”，但没有做到“何由以知其所以然”.教者不妨引导学生关注旋转要素：旋转中心、旋转方向、旋转角，通过对旋转要素的思考，让学生自己发现要研究的问题：对应点、对应线段、对应角、对应图形，其实学生通过类比研究平移和翻折也可以自己感悟到，对于对应线段、对应角、对应图形的性质学生能够很快发现并归纳，但怎样研究对应点的性质，可以让学生多动脑筋，开展小组讨论学习，确定研究的方法、思考的方法，通过交流、互相启发等方式发现结论，归纳性质，个人认为这样更有利于提升学生的学科素养.对于旋转性质的探讨和研究不应该是教师的“引导”之下思考问题，教师的“引导”之下思考问题从某种意义上说剥夺了学生思考的权利，实现的不是高品味真意义的教学.

4作图运用类比联想，强化本质提升能力

教学片段4

师：我们已经分别从形、线、角三个方面发现了旋转过程中一些相等的线段、相等的角，这些就是旋转的的性质【板书】.我想这时候同学们都迫不及待地想利用旋转知识设计一些漂亮的图案，下面我们一起来研究如何画出一个图形旋转后的图形？我们先从最基本的图形“点”开始研究.

问题3：（“点”的旋转）已知点A和点O，请画出点A绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形.

师：请同学们和老师一起来画.（师生共同完成，学生说，教师示范画）

【如果学生说不出来，教师可给出画好的图形，让学生说能得到哪些结论.我们自己画图时应该也要得到这2个结论，也就是说，我们可以用这两个结论指导我们画图.】

师：我们画好后的图形中也要能得到这些结论，所以我们应该用这两个结论来指导我们画图.

师：你能说出点旋转的步骤吗？

生：一连线，二画角，三截取.

问题4：（“线”绕点转）我们在原图中再增加一个点B，连接AB，得到一条线段AB，你能画出线段AB绕点O顺时针旋转90°后的图形吗？请同学们试一试.

一名同学在黑板上操作，其余同学在练习本上操作.一会儿之后，请板演的同学说作图的步骤.（学生到黑板前解说）

师：为什么你只要作出线段两个端点的对应点就可以了呢？

生：旋转后的线段是由两个点确定的.

师：大家能否告诉我，线段旋转和点旋转的关系？

生：线的旋转可以转化为点的旋转.

问题5：（“形”绕点转）如果我们在原图中再增加一个点C，连接AB、BC，得到一个ABC，你能画出ABC绕点O顺时针旋转90°后的图形吗？请同学们再试一试.

一会儿之后，实物展台展示学生的作品，并让操作学生说出步骤.

师：那为什么只要作出三角形三个顶点的对应点就行了呢？

生：旋转后的三角形就是由三个顶点的对应点确定的.

师：你能否告诉大家，三角形旋转和点旋转的关系？

生：三角形旋转可以转化为点的旋转.

师：那将四边形旋转呢？

生：作四边形各顶点的对应点.

师：反思：如何作图？

师：我们一起回顾一下刚才的操作，对于任何一个图形，作出将它旋转后的图形的思路是什么？

生：形旋转转化成点旋转.【板书】

师：这就是数学中的转化思想.

师：到底作什么样点的对应点呢？关键是找哪些点呢？

生：关键在于作确定图形点的对应点.【板书】

分析与思考上述教者做法一方面紧紧抓住概念、抓住性质，通过确定旋转中心、旋转方向、旋转角度和对应点的旋转半径实施作图，另一方面仍然从点、线、面的系统角度思考，分别设计一个作一个点、一条线段、一个三角形绕一个固定点旋转的问题，这样的做法体现了一个数学问题由简到繁、由易到难的上升过程.不过，对为什么这么做的追问不够，不少同学并不明白为什么这么做的道理，没有让学生反复体验作图依据：每对对应点到旋转中心的距离相等，每对对应点到旋转中心连线的夹角相等.

笔者觉得教学可以作这样的改进，直接给出作一个三角形绕形外一个固定点旋转后的三角形问题.然后让学生讨论如何解决问题，让学生自己发现解决问题先从找对应点开始，明确研究解决问题的方法，依然是学生自己发现问题，明确方向，开展研究，解决问题.

一些参赛选手，还喜欢补充这样一个作图题：已知一条线段和它绕一点旋转后的线段，请你确定旋转中心.这样的问题对于刚接触旋转作图的学生们来说是比较难的，在本节课学习内容很多的情况可以不涉足，以免冲淡前面的学习内容，应该重点掌握的学得不透，新的问题又不能深入探讨.即使补充内容，多数老师也处理得不到位，停留在解决问题的层面上.解决问题的关键是让学生联想到旋转中心到对应点的连线段（旋转半径）相等，从而判断旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上，作两对对应点的连线段的垂直平分线得到交点即旋转中心.如何拓展运用呢？其实只要追问两个问题，一是给出一对对应点能不能确定旋转中心？给出旋转前后的两个三角形能不能确定旋转中心？通过对前一个问题的否定和后一个问题的肯定，学生便掌握了对这一类问题的思考方法，正所谓触类旁通.