逻辑思维与数学关系(6篇)
逻辑思维与数学关系篇1
逻辑思维能力是正确与合理思考的基础，逻辑思维能力代表着认知事物的能力，逻辑思维能力越强，对知识的理解与领悟就越透彻，运用就越灵活.数学作为一门结构严谨的科学，有助于培养学生的观察能力、分析能力、综合能力、抽象能力、概括能力、判断能力与推理能力.
在数学教学中，培养和发展学生的逻辑思维能力，有助于学生形成善于缜密思考的能力，还有助于学生形成创新意识，从而提高学生的数学素养.
一、培养学生逻辑思维能力的意义
1.让学生了解到数学的基本方法应该与数学知识并重
在教学过程中，教师除了要讲清数学的基本思想方法外，还应该让学生意识到在解题过程中，数学的基本思想方法和数学知识同样重要.学生只有掌握了一定的数学思想方法，才能在解题过程中拥有相关的洞察力.
2.让学生在感性认知数学的基础上理性地认知数学
高中数学的综合思维不等同于解题.高中生的数学思维虽然是建立在基本概念、定理、公式理解的基础上，但相对不同的思维模式造就了高中生解题结果的差异性.只有在增强高中数学教学的针对性与实效性基础上，才能培养学生的逻辑思维能力.
二、培养学生逻辑思维能力过程中要注意的问题
1.要重视高中生逻辑思维能力的特点
思维是人脑以理性形式对客观事物的反映.学生的思维能力是学生在学习上获得成功的能力保证.
2.教学中不能一味突出高中数学的应试性
在素质教育发展的今天，一味地迎合考试，已经不符合时展的潮流.
三、培养学生逻辑思维能力的方法
1.结合课本内容，培养学生的逻辑思维能力
由于学生掌握的知识大都来源于课本，教师在传授课本内容的同时要有意识、有目的地让学生进行逻辑思维能力的相关训练.
教师不能局限于教材表面，只有在加强基础知识的同时培养学生的逻辑思维能力，才能在挖掘教材知识的同时不断提高学生的逻辑思维能力.
2.重视培养学生的解题能力
逻辑思维能力在能力培养中起决定性作用，是运用数学理论的基本能力，学生解题能力的培养至关重要.
3.结合基础知识，培养学生的逻辑思维能力
知识的教学是培养学生能力的载体.在教学过程中，教师要对感性材料进行加工整理，先形成基本的概念，然后通过语言表达让学生意会.基本知识加工过的授课内容更容易被学生接受，从而培养学生的逻辑思维能力.
4.寻求思维方向，培养逻辑思维的能力
（1）顺向性思维
顺向性思维通常以单一的条件进行相关问题的思考，对待问题只寻求一种解决方案.顺向性思维的学生习惯用概括与推理得出最后的答案.教师在指导顺向性思维学生解题的过程中，要加强对学生发散性思维的培养，以期待让学生的思维更加严密.
（2）逆向性思维
逆向性思维学生与顺向性思维学生思考问题的方式截然相反，逆向性思维的学生在思考问题的过程中喜欢从问题出发，再去寻找相关的已知条件，逆向性学生的思维方式通常情况下会产生“两个方面起作用”的双向联系思维方法.对逆向性思维学生的逻辑能力培养，通常情况下是让学生有能力获得更多的已知条件.
（3）横向性思维
横向性思维的学生通常以所给的知识为中心，从局部或侧面进行探索，横向性思维的学生在解题过程中更善于运用之前学习过的相关知识进行问题的解决.在教学过程中，教师应该关注横向性思维的学生沟通内在知识联系的能力，进一步开拓学生的思维.
（4）散向性思维
逻辑思维与数学关系篇2
【关键词】逻辑/广义与狭义/一元论/多元论/工具主义
【正文】
一、广义的逻辑与狭义的逻辑
什么是逻辑？要清楚明确地回答这一问题，要将各种各样冠以“逻辑”的学科都统一在一个明确清晰的“逻辑”的定义之下，这是很困难的，甚至是不可能的。
不妨先对逻辑发展史作一简单考察。
在西方，公元前4世纪，古希腊哲学家亚里士多德集其前人研究之大成，写成了逻辑巨著《工具论》（由亚氏的六部著作编排而成：《范畴篇》、《解释篇》、《前分析篇》、《后分析篇》、《论辩篇》、《辨谬篇》）。虽然在亚氏的著作中他并没有明确地使用“逻辑”这一名称，也没有明确地以“逻辑”这一术语命名其学说，但是，历史事实是，亚氏使形式逻辑从哲学、认识论中分化出来，形成了一门以推理为中心，特别是以三段论为中心的独立的科学。因此，可以说，亚里士多德是形式逻辑的创始人。
亚氏之后，亚里士多德学派即逍遥学派和斯多葛学派都以不同形式发展了亚氏的形式逻辑理论——逍遥学派的德奥弗拉斯特和欧德慕给亚里士多德逻辑的推理形式增补了一些新的形式与内容，提出了命题逻辑问题，斯多葛学派克里西普斯等人则构造了一个与亚里士多德词项逻辑不同的命题逻辑理论。
弗兰西斯·培根是英国近代唯物主义哲学家，也是近代归纳逻辑的创始人，他在总结前人归纳法的基础上，在批判了经院逻辑和亚里士多德逻辑之后，以其古典归纳逻辑名著《新工具》为标志，奠定了归纳逻辑的基础。
18-19世纪，德国古典哲学家康德、黑格尔等，对人类思维的辩证运动与发展进行了深入研究，建立了另一种新的思辩逻辑——辩证逻辑。
与此同时，以亚里士多德逻辑为基础的形式逻辑在发展与变化中也进入了新的阶段——数理逻辑阶段。数理逻辑也称符号逻辑，或谓狭义的现代逻辑，奠基人是德国哲学家、数学家莱布尼兹。他主张建立“表意的、普遍的语言”来研究思维问题，使推理的有效性可以用数学方法来进行。莱布尼兹的这些设想虽然在许多方面并未实现，但他提出的“把逻辑加以数学化”的伟大构想，对逻辑学发展的贡献却是意义深远的，正如逻辑史家肖尔兹所说，“人们提起莱布尼兹的名字就好象在谈到日出一样。他使亚里士多德逻辑开始了‘新生’，这种新生的逻辑在今天的最完美的表现就是采作逻辑斯蒂形式的现代精确逻辑。”（注：肖尔兹著，张家龙译：《简明逻辑史》，商务印书馆1997年版，第50页。）莱氏之后，经过英国数学家、哲学家、逻辑学家哈米尔顿、德摩根的研究，英国数学家布尔于1847年建立了逻辑代数，这是第一个成功的数理逻辑系统。1879年，德国数学家、逻辑学家弗雷格在《概念文字——一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》这部88页的著作中发表了历史上第一个初步自足的、包括命题演算在内的谓词演算公理系统，从而创建了现代数理逻辑。之后，英国哲学家、逻辑学家罗素和怀特海于1910年发表了三大卷的《数学原理》，建立了带等词的一阶谓词系统，从而使得数理逻辑成熟与发展起来。
上述数理逻辑，以两个演算——命题演算与谓词演算作为核心，被称之为现代形式逻辑或狭义的现代逻辑。在当代，以现代逻辑为基础，将现代逻辑应用于各个领域、各个学科，从而出现了广义的各种各样的现代逻辑分支。
从以上对古代、近代、现当代逻辑学说发展的简单考察可以看出，逻辑的范围是十分广泛的。它至少包括了以亚里士多德逻辑为基础的传统演绎逻辑、以数理逻辑为核心及基础的现代逻辑及其分支、归纳逻辑、辩证逻辑等等，而这些逻辑相互之间的特性又是十分不同甚至十分对立的。所以，要用一个明确的定义把这些历史上所谓的逻辑都包含进去，确实是很难的。事实上，“逻辑”一词是可以有不同的涵义的，逻辑可以有广义与狭义之分。
英国逻辑学家哈克在谈到逻辑的范围时，认为逻辑是一个十分庞大的学科群，其分支主要包括如下：
1.传统逻辑：亚里士多德的三段论
2.经典逻辑：二值的命题演算与谓词演算
3.扩展的逻辑：模态逻辑、时态逻辑、道义逻辑、认识论逻辑、优选逻辑、命令句逻辑、问题逻辑
4.异常的逻辑：多值逻辑、直觉主义逻辑、量子逻辑、自由逻辑
5.归纳逻辑（注：S.Haack:Philosophyoflogics,CambridgeUniversityPress,1978,P.4,221-231.）
在这里，哈克所谓的“扩展的逻辑”，是指在经典的命题演算与谓词演算中增加一些相应的公理、规则及其新的逻辑算子，使其形式系统扩展到一些原为非形式的推演，由此而形成的不同于经典逻辑的现代逻辑分支；至于“异常的逻辑”，则是指其形成过程一方面使用与经典逻辑相同的词汇，但另一方面，这些系统又对经典逻辑的公理与规则进行了限制甚至根本性的修改，从而使之脱离了经典逻辑的轨道的那些现代逻辑分支。“扩展的逻辑”与“异常的逻辑”统称为“非经典逻辑”。
以哈克的上述分类为基础，从逻辑学发展的历史与现实来看，逻辑是有不同的涵义的，因此，逻辑的范围是有宽有窄的：首先，逻辑指经典逻辑，即二值的命题演算与谓词演算，不严格地，也可以叫数理逻辑，这是最“标准”、最“正统”的逻辑，也是最狭义的逻辑；其次，逻辑还包括现代非经典逻辑，不严格地，也可以叫哲学逻辑，即哈克所讲的扩展的逻辑与异常的逻辑；再次，逻辑还包括传统演绎逻辑，它是以亚里士多德逻辑为基础的关于非模态的直言命题及其演绎推理的直观理论，其主要内容一般包括词项（概念）、命题、推理、证明特别是三段论等。此外，逻辑还可以包括归纳逻辑（包括现代归纳逻辑与传统归纳法）、辩证逻辑。将逻辑局限于经典逻辑、非经典逻辑，这就是狭义的逻辑，而将逻辑包括传统逻辑、归纳逻辑与辩证逻辑，则是广义的逻辑。以这一取向为标准，狭义的逻辑基本上可以对应于“逻辑是研究推理有效性的科学，即如何将有效的推理形式从无效的推理形式中区分开来的科学”这一定义，而广义的逻辑则可以基本上对应于“逻辑是研究思维形式、逻辑基本规律及简单的逻辑方法的科学”这一定义。
由此可见，逻辑学的发展是多层面的，站在不同的角度，就可以从不同的方面来考察逻辑学的不同层面及不同涵义：
(1)从现代逻辑的视野看，逻辑学的发展从古到今的过程是从传统逻辑到经典逻辑再到非经典逻辑的过程。这一点上面已有论述，此不多说。
(2)从逻辑学兼具理论科学与应用科学的角度，可以确切地把逻辑分成纯逻辑与应用逻辑两大层面。可以说，纯逻辑制定出一系列完全抽象的机械性装置（例如公理与推导规则），它们只展示推理论证的结构而不与某一具体领域或学科挂钩，是“通论”性的，而应用逻辑则是将纯逻辑理论应用于某一领域或某一主题，从而将这一具体主题与纯逻辑理论相结合而形成的特定的逻辑系统，它相当于逻辑的某一“分论”。在纯逻辑这一层面，还可以分成理论逻辑与元逻辑，所谓元逻辑，是以逻辑本身为研究对象的元理论，是刻划、研究逻辑系统形式面貌与形式性质的逻辑学科，它研究诸如逻辑系统的一致性、可满足性、完全性等等。不言而喻，元逻辑之外的纯逻辑部分，统称为理论逻辑。以这种分法为基础，如果说纯逻辑是狭义的逻辑的话，则应用逻辑就是广义的逻辑。
(3)从逻辑学对表达式意义的不同研究层次，可以把逻辑分成外延逻辑、内涵逻辑与语言逻辑。传统逻辑与经典逻辑对语言表达式（词或句子）意义的研究基本上停留在表达式的外延上，认为表达式的外延就是其意义（如认为词的意义就是其所指，句子的意义就是其真值），因此，它们是外延逻辑。对表达式意义的研究不只是停留在其外延上，认为不仅要研究表达式的外延，也要研究表达式的内涵，这样的逻辑就是内涵逻辑。可以看出，外延逻辑与内涵逻辑对表达式意义的研究都只是停留在语形或语义层面，而实际上，表达式总是在具体的语言环境下使用的，因此，逻辑对语言表达式意义的研究还可以也应该深入到语言表达式的具体的使用中去，对其进行语用研究，这一考虑，就促成了所谓的自然语言逻辑或语言逻辑的研究。所谓自然语言逻辑，按我的理解，就是通过对自然语言的语形、语义与语用分析来研究自然语言中的推理的科学。因此，如果说狭义的逻辑是一种语形或语义逻辑、它们只研究语形或语义推理的话，则广义的逻辑则是一种语用逻辑，它还要研究语用推理。
二、现代逻辑背景下的逻辑一元论、多元论与工具论
从上面的论述可以看出，在当代，现代逻辑的发展呈现出多层次、全方位发展的态势，逻辑学正在从单一学科逐步形成为由既相对独立又有内在联系的诸多学科组成的科学体系的逻辑科学。现代逻辑发展的这一趋势，就使得一方面大量的、各种各样的现代逻辑分支、各种各样的逻辑系统不断涌现，比如，既有作为经典逻辑的命题演算与谓词演算，也有作为对经典逻辑的扩展或背离的非经典逻辑。另一方面，不同于传统逻辑或经典逻辑所具有的直观性，非经典逻辑系统越来越远离直观甚至在某些意义上与直观相背。在这种背景下，逻辑学家就必然面临如下需要回答的问题：
(1)逻辑系统有无正确与不正确之分？说一个逻辑系统是正确的或不正确的是什么意思？
(2)是否一定要期望一个逻辑系统成为总体应用的即可以应用于代表任何主题的推理的？或者说，逻辑可以是局部地正确，即在一个特定的讨论区域内正确的吗？
(3)经典逻辑与非经典逻辑特别是其中的异常逻辑之间的关系如何？它们是否是相互对立的？
对上述问题的不同回答，就区分出了关于逻辑的一元论、多元论与工具主义。
不管是一元论还是多元论，都认为逻辑系统有正确与不正确之分，逻辑系统的正确与否依赖于“相对于系统本身的有效性或逻辑真理”与“系统外的有效性或逻辑真理”是否一致。如果某一逻辑系统中的有效的形式论证与那些在系统外的意义上有效的非形式论证相一致，并且那些在某一系统中逻辑地真的合式公式与那些在系统外的意义上也逻辑地真的陈述相一致，则该逻辑系统就是正确的，反之则为不正确的。以这一认识为基础，一元论认为只有一个唯一地在此意义下正确的逻辑系统，而多元论则认为存在多个如此的逻辑系统。
工具主义则认为，谈论一个逻辑系统是否正确或不正确是没有意义的，不存在所谓正确或不正确的逻辑系统，“正确的”这个词是不合适的。就工具主义来说，他们只允许这样一个“内部”问题：一个逻辑系统是否是“完善的”(Sound)？即是说，逻辑系统的定理或语法地有效的论证是否全部地并且唯一地是在该系统内逻辑地真或有效的？（注：S.Haack:Philosophyoflogics,CambridgeUniversityPress,1978,P.4,221-231.）
多元论又可以分为总体多元论与局部多元论。局部多元论认为，不同的逻辑系统是由于应用于讨论的不同领域而形成的，因此，局部多元论把系统外的有效性和逻辑真理从而也把逻辑系统的正确性看作是讨论的一个特定领域，认为一个论证并不是无条件地有效的，而是在讨论中有效的，所以，逻辑可以是局部地正确的，即在某一特定的讨论区域内正确的。而总体多元论则持有与一元论相同的假定：逻辑原理可以应用于任何主题，因此，一个逻辑系统应该是总体应用的即可以应用于代表任何主题的推理的。
就经典逻辑与非经典逻辑特别是异常逻辑之间的关系而言，一元论者强迫人们在经典系统与异常系统中二者择一，而多元论者则认为经典逻辑与扩展的逻辑都是正确的。因此，一元论者断言经典逻辑与异常逻辑在是否正确地代表了系统外的有效论证或逻辑真理的形式上是相互对立的，而多元论者则认为经典逻辑与异常逻辑两者在某一或其他途径下的对立只是表面的。
就逻辑科学发展的现实而言，从传统逻辑到经典逻辑再到非经典逻辑的道路，也是逻辑科学特别是逻辑系统发展由比较单一走向丰富多样的过程。以传统逻辑来说，它来自于人们的日常思维和推理的实际，可以说是对人们的日常思维特别是推理活动的概括和总结，因此，传统逻辑的内容是比较直观的，与现实也是比较吻合的。而经典逻辑是传统逻辑的现展阶段，是以形式化的方法对传统逻辑理论特别是推理理论的新的研究，因此，与传统逻辑一样，经典逻辑的内容仍是具有直观基础的——经典逻辑的公理与定理大都可以在日常思维中找到相对应的思维与推理的实例予以佐证，人们对它们的理解与解释也不会感到与日常思维特别是推理的实际过于异常。所以，在传统逻辑与经典逻辑的层面，用“系统内的有效性”与“系统外的有效性”的一致来说明一个逻辑系统的正确性是合适的，这种说明的实质就是要求逻辑系统这种“主观”的产物与思维的客观实际相一致。
相对而言，在经典逻辑基础上发展起来的各种非经典逻辑，它的直观性、与人们日常思维特别是推理的吻合性就大大不如经典逻辑，甚至与经典逻辑背道而驰。以模态命题系统为例（应该说，相对而言，模态命题逻辑在非经典逻辑中是较为直观的），如果说系统T满足对模态逻辑系统的直观要求，它所断定的是没有争论的一些结论的话，则系统S4、S5就难以说具有直观性以及与人们日常思维特别是推理的吻合性了：在系统S4和S5中都出现了模态算子的重叠，因而象pp、pp这样的公式大量出现，而这些公式几乎没有什么直观性。至于非经典逻辑中的直觉主义逻辑、多值逻辑，它们离人们的日常思维特别是推理的实际更远，更显得“反常”。同时，同一个领域比如模态逻辑或时态逻辑，由于方法和着眼点不同，可以构造出各种不同的系统。在这种情况下，一些学者作出逻辑系统无正确性可言、逻辑系统纯粹只是人们思考的工具的工具主义结论也就不足为怪了。应该说，工具主义的观点是有一定的可取之处的：它看到了逻辑系统特别是各种非经典逻辑系统远离日常思维与推理和作为“纯思维产物”的高度抽象性，看到了逻辑学家在建构各种逻辑系统时的高度的创造性或“主观能动性”。但是，另一方面，从本质来看，工具主义的这种观点是不正确的，也是不可取的。它完全抹杀了逻辑系统建构的客观基础，否定了逻辑系统最终是人们特别是逻辑学家的主观对思维实际、推理实际的反映。这种观点最终的结果就是导致逻辑无用论，最终取消逻辑。这显然是不符合逻辑科学发展的实际和逻辑科学的学科性质的。
而一元论对逻辑系统的“正确性”的理解过于狭窄，也过于严厉，这种观点难以解释在今天各种不同的逻辑系统之间相互并存、互为补充的现实。从本质上讲，尽管任何逻辑系统都是逻辑学家构造出来的，但是，它们是有客观基础的——它总是在一定程度上反映了人类思维特别是推理实际的某一方面或某一领域（否则，它就是没有实际意义的，最终难以存在下去），所以，逻辑系统是有“正确”与“不正确”之分的——正确地反映了人类思维特别是推理实际的逻辑系统就是正确的，反之则是不正确的。应该说，这一点是一元论与多元论都可以同意的，但是，在承认这一说法的同时，还应该看到，“正确地反映人类思维特别是推理的实际”是可以有不同的程度、不同的层次的：逻辑系统对人类思维特别是推理实际的反映可以是比较普遍、一般的（比如传统逻辑与经典逻辑），也可以是比较特殊、具体的（比如某些非经典逻辑系统，它所反映的就是相对于某一特定主题或领域的特定的思维与推理）；逻辑系统对人类思维特别是推理实际的反映可以是比较直观、与日常较为吻合的，也可以是相对来说较为抽象、远离现实的。从这个意义上来讲，逻辑系统的“正确性”是多样的，不可绝对化和唯一化。所以，我认为，一元论坚持“只有一个正确的、唯一的逻辑”是不妥的，相反，多元论的观点则是可以接受的。
如果按哈克的分析把非经典逻辑分成“扩展的逻辑”与“异常的逻辑”的话，那么，很显然，扩展的逻辑是以经典逻辑为基础，将经典逻辑理论应用于某一领域或学科而形成的对经典逻辑的扩充，它们之间并不存在互斥、对立的情况，它们都可以是“正确的”。至于“异常的逻辑”，它的某些性质与特征确实可能与经典逻辑不同甚至相矛盾（例如在直觉主义逻辑、多值逻辑中排中律的失效等等），因此，它们有“对立”的地方，但就经典逻辑与某一异常逻辑分支相比而言，它们的对立或不一致只是在某些方面，而从整个系统的性质来看，它们的互通之处更多，因此，经典逻辑与某一异常逻辑分支之间的所谓“对立”之处，恰恰是该异常逻辑分支的独特之处，也是它对某一问题的不同于经典逻辑的处理和解决之处，所以，从这个意义上讲，它对经典逻辑的意义不在于“否定”了经典逻辑的某些定理或规则，而在于对经典逻辑忽略了的或无法处理的地方进行了自己的独特的处理。所以，经典逻辑与异常逻辑之间的“对立”是表面上的，其实质是它们之间的互补。
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逻辑思维与数学关系篇3
关键词：数学学生能力培养
学习数学，不单单是为了获取数学知识，学到一些数学技能，更是为了提高学生的各种能力，如思维能力、分析能力、理解能力，以下笔者主要分析学习数学对学生的非逻辑思维能力、数学语言能力、非智力因素的培养。
一、非逻辑思维能力培养的观念
非逻辑思维包括形象思维、直觉思维、灵感思维和数学审美等。研究表明：形象、直觉、灵感思维在人的创造思维能力中占有举足轻重的作用。数学审美能力在数学学习过程中，起着非智力因素与智力因素之间的桥梁和中介作用，它有助于培养创造性思维能力。法国数学家彭加勒认为，数学创造性思维是逻辑思维与非逻辑思维功能的综合。真正有创造力的人，就必定既是善于严格思维，又善于不严格思维的人。这实质是说在数学创造发明的过程中，既包含非逻辑思维，也含有逻辑思维，且非逻辑思维占据优势，是逻辑思维主导下的非逻辑思维，两种思维的有机结合，互相补充和作用，创造力才能得到充分的发挥。数学的创造发明过程往往是先通过形象、直觉、灵感、审美等非逻辑思维迅速找出问题的突破口，再通过逻辑思维作出严格的证明。非逻辑思维是打开数学创造大门的钥匙。中学数学虽然对社会来讲，一般不会有客观上的创新结果，但学生在学习过程中的发现探索对于培养其创造素质是极为有利的。长期以来，人们在数学教学中，非常重视逻辑思维，过分偏重于演绎推理，过分强调形式论证的严密逻辑性的严格作用。数学教育仅赋予学生以“再现性思维”的严重弊病，对非逻辑思维的认识不足，忽视形象思维在创造中的作用，忽视直觉思维的顿悟作用，忽视数学审美的桥梁纽带作用。甚至认为数学思维只有逻辑思维，从而一定程度上限制了学生创造素质的发展。因此在数学教学中在重视逻辑思维能力培养的同时，也要重视培养学生非逻辑思维能力和提高数学美的鉴赏能力，要把纯演绎式的教材体系，还原为生动活泼的数学创造思维活动。揭示思维过程，讲清概念的来龙去脉，利用数学中的“形”，创造教学情境对学生进行形象、直觉思维训练，设计问题对学生进行猜想的训练，使数学教学成为“再创造思维”，只有这样，才能达到数学创造教育的目的。
二、数学语言能力培养
数学语言是科学语言，它的符号与图形都是用来表示数量与空间形式及其关系的，是认识量与空间形式及其关系的有力工具。语言是思维的工具和载体，语言可促进思维，深化思维，思维又可创造语言。数学语言的发展与数学思维的发展更是相辅相成互为促进的。如数的发展产生了复数语言，而复数语言的发展又产生了复变函数论这门具有广泛应用价值的数学学科。数学语言所表达的创造性的数学思维过程，最能体现一个人的创造精神和克服困难的坚强意志。数学语言具有准确、抽象、简炼和符号化等特点。它的准确性可以培养学生诚实正直的品格，它的抽象性有利于学生揭示事物本质的能力的培养，它的简炼和符号化特点可以帮助学生更好地概括事物的规律，也有利于思维。一个公式、一个图形胜过一打说明，符号公式的和谐与简洁美，有利于学生记忆、有利于分析问题、有利于计算和逻辑论证。如学习复数时，“1≤｜z｜≤2”所表示的意义，若用日常语言说明就较麻烦，而懂数学语言的人一看就知道是表示什么。再如用维恩图表示集合间的关系，使抽象问题变得形象直观，有利于学生掌握其内在联系。学生语言的发展就是思维的发展。一个人没有很好的数学语言能力，就不可能有很好的创造能力，从某种意义上讲，数学教学就是传播数学语言，要把数学当作一门特殊的语言来研究，要确立数学语言培养的观念。在数学教学中，要重视概念的形成，重视数学语言与日常语言间的转译，重视符号图式的表示和运用以及知识网络纵横交错的联系。如会用符号语言列方程解应用题，会用函数语言描述运动模型，会用逻辑语言论证，会用计算机语言指导计算。在当前的数学教学中还存在着不重视数学语言培养的现象，如有的学生对数学问题表述不清、认识模糊，这一问题较为严重地抑制了学生思维的发展。培养学生使用数学语言的能力，提高学生用数学语言分析和解决量与空间形式方面的问题的能力，应成为数学创造教育的一项重要内容。
三、非智力因素培养
逻辑思维与数学关系篇4
在教学过程中，数学教师应该转变学生的学习习惯，逐渐将学生的具体学习转变为抽象学习，注重转变学生的思维方式使之抽象化，让学生在独立的抽象学习中逐渐培养抽象逻辑思维能力．在教学过程中，教师应强化抽象理论知识的讲解，对抽象的理论知识，如公式等，多进行例题讲解，以及解题思路方法的讲解，让学生在一种抽象思维的环境下学习，经过长期的训练学习，使学生利用抽象思维去解决数学问题成为一种习惯，从而达到提高学生逻辑思维能力的效果．
二、在数学教学中，教师要环环相扣，强化教学内容的逻辑性
在数学教学过程中，教师要熟悉教材内容，明确其中内在联系，注重新旧知识的结合，知识内容要环环相扣，不断强化教学内容的逻辑性，不仅要巩固学生的已学知识，还要开拓学生的思维以及联系旧知识的能力．第一，要帮助学生把最基础的数学概念、公式定理等牢记于心，并通过练习掌握规律、方法，使其构成知识网络，紧密联系在一起，让学生在解决类似问题时游刃有余．第二，在传授新知识时，注重引导学生与原有的知识基础联系起来，并进行结合、整改形成新的知识网络，以便更好地理解新知识、运用新知识以及巩固旧知识．第三，在数学教学中，教师要注重与实际生活联系起来，通过一些实例或者场景模拟来讲解一些数学理论知识，指导学生利用理论知识去解决现实中出现的问题，这不仅可以有效地提高学生的学习兴趣，还可以有效地培养学生的逻辑思维能力．
三、注重几何知识的讲解，重在培养学生独立思考的逻辑思维能力
几何知识作为初中数学教学中的重要内容，不仅对学生的逻辑思维培养具有重要作用，还对学生在以后的学习生活中的条理性、有序性具有重要影响．几何知识一般都是通过抽象的逻辑思维来解题，尤其是几何证明题，几何知识的条件和结论往往紧密相连，在几何知识的讲解过程中，数学教师应该注重从理论上的逻辑性来培养学生的逻辑思维能力，加强学生在学习数学过程中的条理性，使学生清楚明白几何知识中各种条件与结论的关系，从而解决相应的几何问题．数学本身是一门逻辑性非常强的学科，对各类数据以及结论要求也相当高，相当精准，因此，加强学生严谨的逻辑思维能力至关重要．让学生在几何问题的解题过程中独立思考其中的逻辑关系，逐渐深刻理解其中的关联，可以锻炼学生的逻辑思维，培养学生的学习思维，从而提升学生的逻辑思维能力．
四、适时引导，启发学生的逻辑思维
逻辑思维与数学关系篇5
为了行文方便，本文不再列小标题，只是基本上按照“程文”的顺序就有关问题逐次进行论述。
1.“程文”说：“逻辑学与逻辑思维是两个不同的概念，逻辑学指一门思维科学，逻辑思维指一种思维活动或思维方式……逻辑思维的形成到逻辑学的诞生，是从逻辑规律和逻辑推理被人们不自觉地运用，到它们的形式被人们自觉地研究并加以系统化的飞跃。”②我们认为，“程文”这里所论逻辑思维与逻辑学的区分是正确的。逻辑思维也就是合逻辑的思维，是人们对思维形式及其规律的运用，逻辑学是人们对逻辑思维的研究，是人们对逻辑思维中所运用的思维形式（概念、命题、推理等）及其规律的逻辑总结。
但是，使笔者不解的是，“程文”所引《大学》中的一段话：“古之欲明明德于天下者，先治其国。欲治其国者，先齐其家。欲齐其家者，先修其身。欲修其身者，先正其心。欲正其心者，先诚其意。欲诚其意者，先致其知。致知在格物。格物而后知至，知至而后意诚，意诚而后心正，心正而后身修，身修而后家齐，家齐而后国治，国治而后天下平。”③这段话显然应属于逻辑思维的范围，竟被“程文”称之为“逻辑关系研究”，并且是“对命题逻辑的基本关系即蕴涵与逆蕴涵也有准确的理解”④。（这样它岂不是应属于逻辑学范围了？）而“程文”所引《墨经》对有关条件命题的必要条件、充分条件的理论概括：“小故，有之不必然，无之必不然……大故，有之必然。”本来属于逻辑学的范围（它是墨经逻辑学的一部分），竟被“程文”归属于“命题逻辑的运用”⑤！
2.“程文”认为，文化有两个基本的构成部分：价值体系和知识体系，价值体系包括道德观念、政治思想和宗教信仰。众所周知，道德观念、政治思想和宗教信仰都属于意识形态，都是有阶级性的。知识体系中有的内容没有阶级性（如自然科学），有的也是有阶级性的，如哲学（哲学也属于意识形态）。这样看来，在阶级社会，文化的主要内容乃是属于意识形态的，是有阶级性的。马克思说过：“统治阶级的思想在每一时代都是占统治地位的思想。这就是说，一个阶级是社会上占统治地位的物质力量，同时也是社会上占统治地位的精神力量……占统治地位的思想，不过是占统治地位的物质关系在观念上的表现。”⑥因此可以说，在阶级社会，每一时代的文化思想的主流都必然是统治阶级思想的体现，它们的作用也首先在于维护统治阶级的统治。但是，“程文”却认为希腊文化并非如此。“程文”说，“希腊哲学的主要取向，就是认知主义”⑦，希腊哲人满足于仅仅为了认知而生活。
难道事实真的是这样的吗？让我们看看关于这一问题的权威著作是怎样说的：古希腊的社会是奴隶制社会。古希腊的哲学家同时是奴隶主。“古希腊哲学是奴隶主的世界观，德谟克里特的原子论和柏拉图的理念论，作为理论两者是不同的，以至对立的。但德谟克里特和柏拉图作为奴隶主的哲学家，他们的理论却都是为奴隶制度的合理性作辩护，为巩固奴隶制度服务的。他们都认为这种制度是合乎自然的制度，奴隶按着本性，天生就是安分守己，从事沉重的体力劳动；奴隶主则按照本性，天生就是发号施令，从事政治、文化、军事活动。奴隶制是永远不可改变的，改变了奴隶制就是违反了自然，悖逆了宇宙自然和人自身的本性。”⑧
3.“程文”所以要曲解古希腊哲学的根本性质，关键在于要论证希腊哲学的根本取向决定了希腊必然会产生逻辑学。“程文”说：“希腊哲学的认知取向，代表了希腊文化的主流，反映了希腊文化的终极关怀。”⑨而“希腊文化的终极关怀，对逻辑学的产生有决定性的影响。”⑩难道希腊逻辑学的产生真的是由于希腊哲学的所谓认知主义取向决定的吗？不，如上所说，所谓希腊哲学的认知主义取向就是虚假的，而希腊逻辑学的产生是希腊哲学、文化的认知主义取向决定的说法，则更是荒谬的。试看马玉珂主编《西方逻辑史》（高等学校哲学专业教材）对这一问题是如何论述的：由于经济的发展，在一些城邦国家里出现了新兴的工商业奴隶主，“这种新兴的阶级代表进步的力量，同地主贵族奴隶主阶级进行各种政治斗争。代表不同阶层的利益的思想家、哲学家的不同观点的争论，就是这种政治斗争的反映。在古希腊，社会意识形态领域中的斗争涉及政治、伦理、法律、宗教、哲学等各个方面。‘百家争鸣’，论辩之风甚盛。争鸣、论辩，不能停留在简单的说明或陈述上，需要有说服力的推理和论证，需要增强理性思维能力。于是，作为说理论证的演说术、雄辩术便应运而生。”(11)在这些演说术和雄辩术的基础上，逻辑学也就逐渐形成了。“由此可见，逻辑学的产生同论辩、证明直接有关。”(12)
可见，希腊逻辑学的产生不仅不是由于希腊哲学的所谓认知主义取向决定的，而恰恰是希腊意识形态领域阶级斗争发展的表现——“百家争鸣”的产物。
“程文”为“希腊文化的终极关怀，对逻辑学的产生有决定性的影响”这一观点，提供了两条论据。其实这两条论据也同样适用于我们的观点。“程文”说：“首先，希腊文化的认知取向就使逻辑思维得到充分的发展。对希腊人而言，无论是认识外在的自然，还是认识自身，都是要运用推理、进行论证的。”(13)然而，进行意识形态领域的阶级斗争——“百家争鸣”，不是更需要运用推理、进行论证吗？“程文”说：“其次，科学总是因应社会的需要而产生的，希腊文化的终极关怀也呼唤逻辑学，因为人们的认知活动十分需要逻辑的规范，借以澄清谬误和诡辩。”(14)然而，进行意识形态领域的阶级斗争——“百家争鸣”，不也同样需要逻辑的规范，借以澄清谬误和诡辩吗？
4.“程文”之所以要曲解希腊文化的特点并进而曲解希腊逻辑学产生的原因，关键是为了论证中国文化的特点与希腊文化根本不同，因而决定了中国不可能产生逻辑学。
“程文”说：“中国文化以道德与政治的两位一体作为终极关怀。”(15)又说：“内圣外王之道，道尽了中国文化的终极关怀。”(16)“在中国文化中，表面上至高无上的价值是道德，实际上至高无上的价值是政治。”(17)笔者认为，且不说“程文”对中国文化特点的概括是否片面化、简单化，我们只强调一点：正如上文所说，在阶级社会，一个国家的文化特别显示出道德和政治的重要地位，这不仅是正确的，而且是必然的。不仅中国如此，希腊也如此，只是“程文”未能正确认识希腊文化的特点而已。
“程文”为它的观点“中国文化的特点决定了中国不能产生逻辑学”进行了一系列的论证，但这些论证都是不能成立的。现择其要者反驳如下：
“程文”说，中国文化中由道德与政治结成的价值体系，与逻辑学的价值中立的本性是不相容的。它甚至引证牟宗三的话，说“是以知性中的成果，即逻辑、数学、科学，亦未出现。这一层领域完全成了一片荒凉地，意识所未层贯注到的地方。”(18)又说：“儒家不反智，只是把智当作道德与政治的御用工具……但是，由于道德与政治所结成的价值体系主宰一切，独霸一切，价值中立的知识根本就没有地位可言。”(19)笔者认为，把政治、道德放在第一位，决不意味着就不要发展非阶级性的科学——逻辑、数学、科学。因为，任何有头脑的统治者都会知道，发展逻辑、数学、科学，从而更好更快地提高整个国家的经济文化水平，改善老百姓的生活质量，是维护国家政权的最根本、最好的方法；至于说中国文化价值观决定了逻辑、科学、数学从未出现，这完全与事实相背。中国在近代以前，科技一直处于世界的先进行列，这已为中外众多的科学家所肯定，岂是可以由“程文”一笔抹杀的。(20)
说把“智”（也就是指所谓价值中立的知识性科学：逻辑学、数学、科学等）当做政治的御用工具，这也就是它的地位，又说它根本没有地位可言，这完全是自相矛盾；并且，既然是“工具”，当然就有必要强化这种工具。也就是说，即使在道德与政治的价值体系主宰一切的情况下，也必然会发展逻辑科学，又怎么会不可能产生出逻辑学呢？
“程文”说：“先秦诸子就有不同的政治要求或善恶观念，例如，墨子主张‘兼爱’，杨朱主张‘为我’，已是互不相容，孟子更一概否定，斥之曰：‘杨氏为我，是无君也。墨子兼爱，是无父也，无父无君，是禽兽也。’那么，逻辑应该与谁的政治要求一致，为谁的善恶观念服务呢？难道不同的阶级或派别有不同的逻辑？”(21)笔者认为，说逻辑学要成为政治道德服务的工具，是说不管墨子、杨朱、孟子的政治道德观念如何不同或对立，他们都需要同一的逻辑学工具，而决非是说必须创造出不同的阶级或派别的不同的逻辑学。这正像不同的工匠制作不同的家具，所用的工具却完全可以是相同的一样。
“程文”说：“当《墨子·小取》提出‘辩’要为‘审治乱’‘处利害’服务之时，也就赋予‘辩’以意识形态的属性。”(22)笔者认为，第一，这种说法是片面性的，试看《小取》中关于“辩”的性质和作用的论述的原文：“夫辩者，将以明是非之分，审治乱之纪，明同异之处，察名实之理，处利害，决嫌疑。焉（乃）摹略万物之然，论求群言之比。”显然，《小取》并未把“辩”的作用归结为“审治乱”和“处利害”，而是指出它具有明同异之处等等作为认识和论说等工具的作用，而作为认识和论说的工具，当然也可用于“审治乱”和“处利害”。因此，决不能由此得出结论说，《小取》的说法是把“辩”归结为意识形态一类的。
第二，究竟“辩”是属于意识形态科学，还是属于工具性科学，决不能仅看《小取》有关“辩”的作用的几句论述，而是要看《小取》的全部具体内容。限于篇幅，对于《小取》的具体内容这里无法展开解释（关于《小取》的具体内容在许多中国逻辑史著作中都有详述，读者可参看），但总体上看，《小取》的内容无非如《小取》所说，是“以名举实，以辞抒意，以说出故”，亦即是关于“名”（概念）“辞”（命题）“说”（推理）等思维形式的论述，也就是逻辑学的有关理论。
“程文”说：“当墨家将为‘兼爱’和‘杀盗’两个互相冲突的政治主张进行辩护的意图强加于推理之时，就陷入‘杀盗非杀人’的诡辩，导致一系列矛盾……断送它的逻辑前途，因为一个包含矛盾的理论不可能成为逻辑学。”(23)笔者认为，第一，说墨家的“兼爱”和“杀盗”是两个互相冲突的政治主张是不正确的。“兼爱”是要对广大的人民群众平等相爱，而“杀盗”则是要对破坏广大人民群众正常生活的坏分子进行镇压。正像我们现在要建设和谐社会，必须对严重破坏社会主义事业的刑事犯罪分子进行镇压一样，在当时要达到“兼爱”，也必须“杀盗”。因此，“兼爱”和“杀盗”在墨家的思想体系内是完全一致的。第二，“程文”把在一个形式化逻辑系统中包含有逻辑矛盾和一个非形式化系统中某一个局部（在一个举例中）包含有逻辑矛盾混淆了。一个形式化逻辑系统中如果既推出了定理p，又推出了定理非p（┑p），这就是出现了逻辑矛盾。而根据数理逻辑定理（p∧┑p）b，即逻辑矛盾命题可以推出任意命题，这样的逻辑系统自然是无科学价值的。但是，《小取》中的“杀盗非杀人”，只是作为“是而不然”（前提为肯定命题但却推出否定结论）的推理形式（“盗，人也……杀盗非杀人也”）的举例来讲的，即使这个举例是不当的，也不会导致《小取》所构建的逻辑系统的全部崩溃。第三，其实《小取》中对“杀盗非杀人”的论证，并非就是诡辩，相反，倒是一个精巧的论证。我们知道，“人”这个词在不同的语境中可以有广义和狭义两种含义，广义指包括一切坏人和一般人在内的“人”，狭义则仅指不包括坏人在内的一般人。“盗贼也是人”，其中的“人”乃是广义的人。“××坏极了，简直不是人”，其中的“人”乃是狭义的人。《小取》关于“杀盗非杀人”的论证正是在区分“人”的两种不同含义的语境下进行的。试看《小取》的原文：“盗，人也；多盗，非多人也；无盗，非无人也。奚以明之？恶多盗，非恶多人也。欲无盗，非欲无人也。世相与共是之。若若是，则虽盗人也，爱盗，非爱人也；不爱盗非不爱人也；杀盗非杀人也。”(24)很清楚，“盗，人也”中的人乃指广义的人，而“多盗，非多人也”等等句中的“人”则是狭义的人，因此，说“杀盗，非杀人也”和“盗，人也”并非是逻辑矛盾。事实上，这样的论证还是很有道理的。反之，在论证时如果分不清两种“人”的含义，倒确实会造成思维混乱。如：“杀人者犯死罪，对杀人犯处死刑是杀人，因此，对杀人犯处死刑犯死罪。”这不恰恰是诡辩吗？
5.“程文”批评撰写中国逻辑思想史的学者混淆概念，用“中国逻辑思想史”冒充“中国逻辑史”。“程文”说：“逻辑思想就是逻辑思维运用于具体的思想或学术领域而产生的结果，所以，中国古代也就有‘逻辑思想史’可言。”(25)笔者认为，这种说法才真正是概念的混乱。按这种说法，一切合逻辑的谈话、文章、科学文化论著就都属于逻辑思想，因为它们都是逻辑思维运用于具体的思想或学术领域而产生的结果。这样，中国逻辑思想史就不是像“程文”所说的是中国思想史和中国文化史的一个重要组成部分，而是要囊括中国思想史、文化史、科技史等的全部内容。这样的逻辑思想史岂不成了《永乐大典》式的著作吗？其实，“逻辑思想”也就是有关逻辑科学的思想，或者说是论述有关思维形式及其规律的思想。在古代，逻辑学未能形成完全独立的学科，有关逻辑学的论述往往散见于哲学、语言学、论辩术等等的论著中，并且它们往往也只是有关某个（些）思维形式及其规律的某个方面的论述（并未构成一个完整的逻辑学系统），但只要是有关思维形式及其规律的论述，就都属于逻辑思想的范畴。我国的逻辑史学者，把我国自古以来有关论著中所包含的逻辑思想，加以摘引、整理、评析，按照历史的顺序进行编排，也就成了“中国逻辑思想史”。这种工作可以使我们看到中国逻辑思想历史发展的概要，对我国逻辑学的研究是很有意义的，岂可随意用“冒充”言之！
6.“程文”为了论证中国古代文化不能产生逻辑学，最后甚至不惜对中国古代的逻辑思维和文化加以贬斥。如：“中国古代有逻辑思维，但无论在质或量方面都得不到充分的发展。”(26)“逻辑思维始终没有成为人们的思维方式的主流。”(27)“中国传统文化就是一种结构失衡的文化，因为它只注重价值而忽视知识。”(28)按照“程文”的说法，我国自古以来只是一个逻辑思维能力低下的国家，不仅世界逻辑学三大发源地的称号不再存在，五千年灿烂文化的文明古国恐怕也成了问题。难道真的是这样的吗？我这里不再多说，请广大读者认真思考吧！
收稿日期：2008—07—30
注释：
①②③④⑤⑦⑨⑩(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(21)(22)(23)(25)(26)(27)(28)程仲棠：《文化的终极关怀与逻辑学的命运——兼论中国文化不能产生逻辑学的根本原因》，《中国哲学史》2008年第1期。
⑥马克思、恩格斯：《费尔巴哈》，《马克思恩格斯选集》第一卷，人民出版社，1972年。
⑧苗力田主编《古希腊哲学》(高等学校文科教材)，中国人民大学出版社，1989年。
逻辑思维与数学关系篇6
关键词：初中数学老师；初中学生；逻辑思维能力
学生在学习以及以后的工作过程中，都需要比较严谨的逻辑思维能力，所以学生在学校期间应该努力提升自己的逻辑思维能力，这就要求教师需要采取各种科学合理的措施对学生进行一定的训练，直到他们能够在一定程度上提高自己的逻辑思维能力为止。
一、培养或者提升初中学生逻辑思维能力的重要性以及必要性
通过社会实践的调查以及相关的研究工作人员的分析，发现初中学生如果能够培养比较良好的逻辑思维能力，会对提升他们自身的学习能力、综合专业素质以及全面发展有着非常重要的帮助作用或者推动作用。对于初中学生来说，初中数学的教学在很大程度上能够符合逻辑学的学习方法，因此学生在学习初中数学的过程中，假如数学教师能够正确引导学生进行学习，那么学生的逻辑思维能力就能够获得很大程度的提高。
初中学生在学习的过程中培养或者提升自身的逻辑思维能力，与此同时又将逻辑思维能力实际地运用到了数学课程的学习中，并且逻辑思维能力不仅仅对学生现在的学习以及生活有一定的帮助作用，同时它还能够对以后的各种学科的学习有积极的推动作用。鉴于学生的逻辑思维能力能够对学生的学习以及工作产生如此重要的作用或者影响，所以初中数学教师需要在进行数学知识的教育教学工作中，时刻将培养学生的逻辑思维能力作为主要的教学目标之一。然而要想培养或者提升学生的逻辑思维能力需要一个长期的过程，这就使得数学教师在教学工作中，需要进行更多的努力或者探索。
二、如何在课堂教学中培养或者提升学生的逻辑思维能力
1.数学教师需要改变学生的学习习惯或者学习思维
小学生在进行数学学习的过程中，可以寻找相应的事物进行运算或者观察，这样能够在很大程度上帮助学生进行理解，但是对于初中学生来讲，他们所要学习的数学知识可能不能够在实践生活以及学习中找到，因此他们必须要利用抽象的思维进行数学理论知识的学习。总言而之就是初中学生在学习数学知识的过程中，需要将小学生的具体思维改变为抽象思维，经过长时间的训练或者练习，初中学生就能够提升自己的逻辑思维能力。
在初中的数学学习中，需要理解以及掌握相应的代数式以及几何知识，这些在实际生活中并不能够找到具体的例子进行说明，所以学生在学习的过程中就不能再使用具体性思维，而是需要将其进行抽象化，从而培养自己的抽象逻辑思维能力，这样的学习方式才能够让初中学生真正地学习到目前的数学知识以及以后相应学科的知识。由于初中学生在经过了小学几年的学习之后，很难将自己的思维转化过来，这就需要数学教师在平时的教育教学工作中，对学生进行抽象思维的训练或者强化，使得这些学生能够比较快速地利用抽象的逻辑思维去解决相关的数学问题。具体来说，可以在平时的课堂教学中多进行例题或者方法的讲解，与此同时在课下让学生们进行结组训练。只有让学生时刻进行训练或者练习，他们才能够逐渐熟悉这种学习方式，经过长时间的训练之后就可以熟练地掌握逻辑思维方式，从而真正地提升自身的逻辑思维能力。
2.关注或者重视几何内容的教学
在初中数学教学中，几何知识的学习占有十分重要的地位，尤其是几何证明题中条件之间的联系，以及条件与结论间的联系，如果学生在学习的过程中能够将这些关系辨别清楚，那么他们就会比较容易地解决相应的几何问题，与此同时也能够培养或者提升自身的逻辑思维能力。
数学学科是一门要求非常精准的学科，它不容许有一丁点错误，因此数学学习的过程中需要非常严谨的逻辑思维能力，也就是说数学教师在进行数学知识的相关教育教学工作时，需要让学生对这些逻辑关系进行严格的辨别，找到它们之间的内在联系，这样才能够将问题解决，更重要的是能够使这种逻辑思维能力得到一定的锻炼或者练习。
三、对学生进行适当的引导或者指导
数学教师在进行相应的理论知识讲授的时候，尽管能够比较详细地进行解说或者示范，同时也能够按照相应的逻辑思维顺序进行解题，然而对于有些学生来说，他们可能并不能够理解。所以他们在课下完成习题或者其他作业的过程中，就会有很多疑惑，这个时候就需要数学教师对他们进行特殊的指导或者引导。对于不同的学生他们的逻辑思维能力不是完全相同的，这就使得教师在引导他们学习的过程中要进行适当的指导，只有这样才能够使得培养学生的逻辑思维能力不至于沦为一句空话。与此同时有的同学会在课堂教学的过程中，提出相应的问题，这个时候数学教师应该尽量采取逻辑思维方法进行解释，学生们经过长时间的熏陶以及影响之后，就会在一定程度上提升自己的逻辑思维能力。
总之，培养和提升学生的逻辑思维能力是一项长期而复杂的任务，只有长期坚持不懈地探索和总结，才能慢慢看到成效，才能真正提升学生的逻辑思维能力。
参考文献：
1.石青枝.浅谈初中生数学逻辑思维能力的培养[J].试题与研究（教学论坛），2010（09）：39-43.
