数学建模插值法范例(12篇)
数学建模插值法范文篇1
关键词：数字散斑相关方法微区测量应用进展
1、数字散斑相关方法的基本原理以及数学模型
数字散斑相关方法的主要原理如下：首先，对相关的图像进行搜集，并进行数字化处理，这样一来，通过对物体在不同变形状态或者不同变形时刻的两幅图像进行一定程度的处理，从而得到面内位移分量和面内位移梯度。一般情况下，变形识别具有一套较为固定的流程，主要如下：首先要做的工作是数字散斑图的采集，在采集完成物体变形前后的两幅数字散斑图之后，分别对变形前图像中的一小块图像以及变形后图像中的一小块图像进行定义，前者定义为样本子区，后者定义为目标子区，这样一来，只需要有效寻出目标子区与样本子区之间的一一对应关系，就能够对相关的变量进行有效的提取。在样本子区与目标子区的位置差别之中，包含了相应的位移分量，而在样本子区与目标子区的形状差别之中，则包含了应变分量。因此，通过这种方法就可以对变形测量问题进行一定程度的转化，使其成为一个数字计算过程。从理论上来看，只要能够有效获得反映被测对象不同变形状态的表面数字图像，同时保证这些数字图像都是由具有一定对比度和信息层次的散斑所构成，那么就可以对数字散斑相关技术进行一定程度上的利用，并在此基础之上对变形等信息进行有效的提取，进而对变形的非接触测量进行有效的实现。
一般情况下，在运用数字散斑相关方法对数字散斑图进行处理时，为了对目标子区与样本子区的对应效果进行有效的判断，需要从数学上对相似程度的衡量标准进行有效的建立。然而，相关系数是两个变量之间相互关系的定量描述，因此，在这个标准之中，可以对样本子区与目标子区之间的互相关系数进行一定程度上的选用，通常将互相关系数定义为：
而对于样本子区与目标子区中个点之间的联系，可以用如下式子进行一定程度上的表示：
当然，如果想让以上的数学模型能够有效的成立，还需要满足相关的条件，主要有如下几个：①假设物体表面上的每一点在发生变形的前后，其灰度值是一直保持不变的；②当物体发生一定程度的变形时，主要为面内位移，而对离面位移进行忽略；③离面位移的导数较之于面内位移的导数要小，且小得多。
2、数字散斑相关技术应用研究进展
2.1相关搜索的改进
对于相关搜索而言，它在数字散斑相关方法之中有着十分重要的地位与作用，随着数字散斑相关技术的不断发展与完善，它经历的一个从计算简单到计算复杂、从大计算量到相对小计算量的发展过程。在早期，相关搜索采用的主要是粗-细搜索方法，对于这种搜索方法而言，其编程相对简单，因此实现起来并不是十分困难，但是这种方法往往需要耗费大量的时间，搜索速度相对较慢。随着其缺点的日益显露，很多学者进行研究与分析，并提出一种十字搜索方法，然而这种方法虽然在收敛速度的提高上进行了一定程度的改进，但仍然存在着不足之处。随着近代数学的不断发展，一些新的数学分析方法出现，同时，数字散斑相关方法也不断发展，并在其中逐渐融入了数学理论。例如自适应的遗传算法、智能的神经网络方法以及基于仿射变换的“嵌套式”的细搜索方法，随着这些技术的引入，使得数字散斑相关技术能够对结果的精度以及DSCM的收敛速度进行有效的提高，并使得相关搜索有了大幅的改进。
2.2相关系数的选择
从实质上来看，相关系数即相关搜索中的一个数学上的标准，也就是指的是相关判断的一个准则。因此，相关系数的选择能够对相关搜素的效率以及精度产生较大程度上的影响。在早期，相关系数的表达形式一般都是采用绝对值差别相关系数和最小二乘相关系数，随着人们认识的不断深入与拓宽，在数字散斑相关技术当中，逐渐引入了归一化的交叉互相关系数、归一化的最小二乘相关系数。对于归一化的相关系数而言，由于它能够对相关系数的取值范围进行一定程度上的限定，因此能够促使相关搜索的效率进行有效提高。根据研究表明，通过对子区灰度平均值进行一定程度上的减少，可以对相关系数分布中的主峰值点和周围小峰值点之间的差异进行有效的增加，进而对数字散斑相关方法的鲁棒性进行更大程度上的提高。
2.3灰度级的重建
在对数字散斑相关技术进行运用的过程中，往往需要在亚像素水平上进行一定程度的求解，这就需要得到整体像素之间位置上的灰度值，为了有效实现这一目的，需要对数字图像进行一定程度的插值处理。在最开始的时候，插值方法主要采用双线性插值方式，随着数字散斑相关方法的不断发展，原先的插值方式发生转变，逐渐变成三次插枝、多项式插值、三次样条插值、分形插值以及面拟和法等插值方式，且各种插值方式具有不同的特点。对于双线性插值来说，它具有简单实用的特点，而高阶插值函数所引起的系统误差较小。例如，三次样条插值的精度较之于双线性插值方式的精度要高，然而，高阶插值方式往往需要花费更多的时间。针对这两种特点，在对插值方式进行选择时，需要对结果精度以及插值消耗时间进行综合的考虑。
3、结束语
本文主要针对数字散斑相关方法与应用研究进展进行研究与分析。首先对数字散斑相关方法的基本原理以及数学模型进行了一定程度的介绍，然后在此基础之上从相关搜索的改进、相关系数的选择以及灰度级的重建三个方面阐述了数字散斑相关技术应用研究进展。希望给我们的研究与分析能够给读者提供参考并带来帮助。
参考文献：
[1]雷振坤，亢一澜，王怀文，牛宏攀，陈力，邵龙潭.单纤维细丝微力学性能实验研究[J].实验力学.2005（01）
[2]王静，李鸿琦，邢冬梅，金波，佟景伟，李林安.数字图像相关方法在桥梁裂缝变形监测中的应用[J].力学季刊.2003（04）
[3]李鸿琦，邢冬梅，马世虎，王宏智，王世斌.梯度功能材料热弹性应变场分析[J].实验力学.2002（03）
数学建模插值法范文篇2
关键词：DEM；等高线；格网；TIN；ArcObjects
引言
DEM是多学科交叉与渗透的高科技产物，已在测绘、资源与环境、灾害防治、国防等与地形分析有关的各个领域发挥着越来越大的作用，也在国防建设与国民生产中有很高的利用价值。
ArcGIS是美国ESRI公司开发的一套功能强大的GIS软件。ArcObjects是ArcGIS提供的一套开发组件库，可以开发出所需要的各种GIS功能，同时为用户提供了更大的开发自主性，它为用户提供了一套完整的生成DEM数据和进行各种DEM分析的对象库和接口，用户可以使用这些对象库和接口快速创建自己的应用软件系统。
现基于ArcObjects生成DEM数据的方法进行了初步的研究和探讨。
1DEM数据的常见表现形式
DEM模型按照数据的表现形式主要分为两种：不规则三角网（TriangulatedIrregularNetwork简称TIN，也称三角网DEM）和规则格网（简称GRID，也称格网DEM）。
1.1规则格网（GRID）格式DEM
GRID是以规则排列的正方形网格来表示地形表面。GRID数据结构简单，数据存储量小，还可压缩存储，适合于大规模的使用和管理。现在我们常说的DEM及大规模的DEM数据建设，主要是指这种形式，这里所称的数字高程模型DEM，也是指GRID。
栅格模型支持大量丰富的空间分析，比如空间一致性分析、邻近分析、离散度分析以及最低成本路径分析等，这些分析速度也比较快。
1.2不规则三角网（TIN）格式DEM
TIN采用离散数据点生成的连续的不重叠的不规则三角形网格来表示地形表面，在地形平坦的区域，三角形较少，而在地形复杂的区域，三角形较多。因此，TIN能较好地顾及地形地貌特征，逼真表示复杂地形的高低起伏变化，并且能够克服地形平坦区域的数据冗余。但TIN的数据结构复杂，数据量大，一般只适用于小范围大比例尺的高精度地形建模。
由于三角形在形状和大小方面有很大的灵活性，所以这种模型能较容易表示断裂线和地形起伏较大的区域。TIN模型还支持很多的表面分析，如计算高程、坡度、坡向、进行体积计算、创建剖面图等，因此TIN建模方法在地形表面建模中引起了越来越多的注意，在GIS中得到了普遍使用，已成为表面建模的主要方法之一。
在ArcGIS中主要提供了RASTER和TIN两个类型的数据，它们分别对应GRID数据和TIN数据。在ArcGIS中的各种三维操作和三维分析功能都是基于这两种数据进行的。所以这里也主要研究和探讨基于网格（GRID）和基于不规则三角网（TIN）来生成DEM数据。
2RASTER（GRID）数据的生成
在实际生产中，经常要利用等高线数据直接内插生成DEM数据，或者利用具有高程值的一定密度的离散点内插生成相应的DEM数据，从用户的角度出发，利用等高线数据直接内插生成DEM数据是一种经常采用的方法。
在实际应用中，通常有两种内插方法，一种是沿预定轴方向的等高线直接内插法，首先计算预定轴与相邻等高线的交点，然后利用这些交点通过基于点的内插方法完成内插的过程。另一种是沿内插点最陡坡度的内插，首先搜索相邻等高线上沿最陡坡度上的两点，然后根据这两点线性内插出格网结点的高程值。实际上，等高线内插的核心问题在于如何确定用于内插所需要的点。转贴于
在ArcObjects组件库中并没有提供直接由含有高程信息的等高线直接内插来生成GRID数据的方法，而是提供了利用具有高程值的离散点内插生成RASTER数据。我们可以利用间接的办法来实现：先将等高线数据生成TIN类型的DEM数据，然后再将TIN转换成RASTER数据。
实现思路和步骤：
（1）首先需要添加一个带有高程值的数据，作为生成RASTER的源数据；（2）通过从数据集中选择它的高程字段来创建一个FeatureClassDescriptor对象。该对象是一个从数据集中提取了高程字段新对象，作为进行内插操作的一个输入对象；（3）使用IRasterAnalysisEnvironment接口设置输出Raster网格的大小；（4）使用IInterpolationOp接口中的内插方法IDW进行内插操作；（5）生成并保存输出文件。
3TIN数据的生成
等高线生成三角网主要有三种方法：等高线离散点直接生成TIN方法、将等高线作为特征线的方法、自动增加特征点及优化TIN的方法。
3.1等高线离散点直接生成TIN
首先将等高线上的点离散化，然后使用从不规则点生成TIN的方法生成TIN，这种方法并没有考虑等高线数据的特殊结构，会出现各种各样的问题，如：出现三角形的三个顶点都位于同一条等高线（即所谓的平三角形），或者三角形某一边穿过了等高线的情况，而这些情况按照TIN的特性来说都是不允许的。在实际应用中，这种算法很少直接使用。
3.2将等高线作为特征线的方法
将每一条等高线当作断裂线或结构线，对于三角形而言，至多只能从同一等高线取两个点，并且规定在这些线上不能有三角形生成。
3.3自动增加特征点及优化TIN的方法
这种方法的实质是将等高线离散化建立TIN，采用增加特征点的方式来消除TIN中的“平三角形”，并使用优化TIN的方式来消除不合理的三角形。
利用ArcObjects在生成DEM的方法上，TIN比Raster实现起来更容易一些，实现步骤如下：
（1）加载一个等高线数据集，用来生成TIN；（2）将该等高线数据集的空间引用设置为要创建TIN的空间引用；（3）利用ITinEdit接口中的InitNew方法生成TIN；（4）由于生成的TIN没有高程信息，还要利用ITinEdit接口中的AddFromFeatureClass方法添加高程信息到TIN中；（5）保存TIN数据。
结束语
DEM数据是GIS中进行地形可视化表达和地形分析的重要基础，而DEM数据生成方法的选择，直接决定了DEM数据生成的效率和质量，这里在对生成DEM数据的相关算法和技术研究的基础上，基于ArcGIS的ArcEngine二次开发平台，利用ArcObjects组件库提供的相关接口实现了DEM的生成，从实际效果来看，其数据的表现形式和精确度还是较令人满意的，当然，这还只是对DEM数据的生成方法进行了试验性的研究和探讨，真正要发挥DEM数据的作用，还需要结合具体的实际应用，进行结构和功能上的不断完善，尤其是在生成DEM数据的基础上进行各种相关的地形分析。
参考文献
[1]李志林，朱庆.数字高程模型[M].武汉：武汉大学出版社，2003.
[2]汤国安，刘学军，闾国年.数字高程模型及地学分析的原理与方法[M].北京：科学出版社，2005.转贴于
数学建模插值法范文篇3
摘要:
针对破鳞拉矫机的设备组成及生产工艺特点，开发了以插入量和延伸率控制为核心的自动控制系统．建立了插入量的控制模型，解决了因换辊后频繁标定零点位置以及辊子磨损影响插入量控制精度的问题．采用参数寻优的方法，求解以误差为基础的目标函数得出适配参数，解决了延伸率控制中的参数设置合理性受人为因素影响较大的问题．现场实际应用效果表明:破鳞效果良好，弯曲辊和矫直辊的标定值与计算值的最大偏差均可控制在0.24mm以内;延伸率控制采用参数寻优前后效果对比明显，设定值为0.9%时，偏差控制精度由±8%提高到±5%，设定值为1.8%时，偏差控制精度由±3%提高到±1%．
关键词:
破鳞拉矫机;插入量;参数寻优;延伸率
拉矫机兼顾了连续拉伸矫直和辊式矫直两种工艺的优点，广泛应用于板带材深加工领域［1］．破鳞拉矫机在酸轧机组中起到破鳞和改善板形的作用，破鳞能力直接影响着酸轧机组的酸洗效果和生产效率，板形改善能力关系着产品的平直度等产品质量［2］．破鳞拉矫机的控制核心为插入量和延伸率，二者的精确控制对其应用效果有至关重要的影响［3］．插入量的控制以零点位置标定为基础，以往换辊后需要重新标定以及未对辊磨损量进行补偿，影响了生产效率和控制精度．延伸率的控制，以往采用传统PID控制等策略受外界因素影响较大难以取得满意的控制效果．本文以国内某薄板厂1450mm酸轧机组破鳞拉矫机为对象进行研究，通过对带钢拉弯矫直机的矫直原理的分析，建立了换辊前后零点位置变化的数学模型并对磨损情况进行补偿，采用求解以误差为基础的目标函数得出适配参数的延伸率控制策略，开发了符合生产需要的破鳞拉矫机的控制策略，取得了良好的应用效果．
1破鳞区设备组成与矫直原理
1.1破鳞区设备组成破鳞区的主要设备组成如图1所示，破鳞拉矫机的本体采用“两弯一矫”的形式，即1#弯曲辊组、2#弯曲辊组和矫直辊组．在其本体前后配备张力辊组，即2#张力辊组和3#张力辊组，并采用灵活的电气连接方式实现延伸率控制，以达到破鳞的目的．在2#张力辊组前配有焊缝检测仪，对焊缝位置进行校正，实现精确的带钢跟踪，为拉矫机过焊缝模式提供基础．在拉矫机本体前后配有两个张力计，用于测量带钢张力，为间接延伸率控制提供张力反馈．
1.2矫直原理在破鳞拉矫过程中，由张力辊组提供拉矫张力将带钢拉伸，由弯曲辊组产生弯曲变形，在张力作用下使带钢反复弯曲变形［4］，利用铁基体及氧化铁皮覆盖层材料性能的巨大差异，经过对带钢的反复弯曲和拉伸，使其表面氧化铁皮层产生反复拉伸与压缩，而基体材料受力后产生一定程度的弹塑性变形，由于表面的氧化铁皮不具有塑性且破坏强度较低，同时与基体的附着力差，导致氧化铁皮的开裂和破落，从而提高了酸洗效率［5，6］．同时带材一侧的拉伸效果将得到叠加并使中心层出现塑性变形而达到矫直目的，改善板形［7］．用拉弯矫直机进行机械除鳞时，插入量和延伸率控制的应用对去除带钢表面的氧化铁皮和消除板形缺陷起到很大的作用［8］．因此高精度的插入量和延伸率控制是破鳞拉矫机控制的核心．
2破鳞拉矫机的控制
破鳞拉矫机在酸洗线的工作周期:正常生产时为延伸率控制，当焊缝到达带钢跟踪系统计算过焊缝的开始位置点时，进入过焊缝模式．当焊缝离开带钢跟踪系统计算过焊缝的结束位置点时，过焊缝模式结束，并触发新一卷的设定值(插入量、延伸率、张力)，然后重新进入延伸率控制，如图2所示。其中过焊缝模式根据带钢规格和焊缝质量分为4种模式，如表1所示．
2.1位置标定插入量对破鳞拉矫机的破鳞效果及延伸率控制有重要的影响．而插入量的控制是以位置标定为基础，一般认为下弯曲辊上表面调至与上弯曲辊下表面同时刚接触带钢，此时的位置为插入量的零点位置．而在换辊后插入量的零点位置就会发生改变，为了避免每次换辊后都重新调零，影响生产效率，根据设备布置的几何关系及换辊前后零点位置的变化规律并对磨损情况进行补偿，建立如下函数关系式。
2.2延伸率控制延伸率的控制模式主要有两种:速度控制模式和张力控制模式．速度控制模式是利用延伸率设定值与实际测量值之间的差值，产生相应的附加速度，作用于2#张力辊组，调整其速度，从而实现对带钢延伸率的控制．张力控制模式是利用延伸率设定值与实际测量值之间的偏差信号，产生相应的附加张力，将其作用在2#张力辊上，从而调整其张力力矩，实现带钢延伸率的控制，薄带材一般采用此种控制模式．在工程实践中，延伸率控制器采用PI控制器，其参数往往受人为经验的影响而难以满足生产不同规格带钢时延时率控制精度的要求．为了获得优化的PI控制器参数，使控制效果达到最优，可以将最优化理论应用于控制器参数寻优中。目标函数是控制器参数寻优的核心，单一指标型的目标函数，如超调量最小，上升时间最快，调节时间最短，往往无法取得满意的控制效果，而采用误差型的目标函数，可以对几个特征值做综合考虑，因为是超调量大或是调节时间长都会使误差积分值增大．针对延伸率控制的特点，兼顾系统的稳态性能和暂态性能，建立以误差和误差变化率为基础的多目标函数，并进行加权处理，使评价结果更趋于合理．
3现场应用
基于本文开发的破鳞拉矫机控制系统已经成功应用于国内某薄板厂1450mm酸轧机组生产线．现场应用实践表明，生产节奏连贯，插入量补偿准确，破鳞效果良好．通过现场实际生产，验证了零点位置计算法的有效性，分别换辊前后8卷带钢做了零点标定，对比表2、表3、表4的数据，可以发现1#弯曲辊的标定值和计算值的最大偏差为0.19mm，2#弯曲辊的标定值和计算值的最大偏差为0.23mm，矫直辊的标定值和计算值的最大偏差为0.24mm.如图6所示，延伸率设定值为1.8%时，优化前偏差为±3%且偏差集中在－0.5%，优化后偏差为±1%且偏差集中在0%，优化效果明显．此参数寻优的方法具有普遍的应用价值．
4结论
数学建模插值法范文
一、数值分析在模型建立中的应用
在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。
以非负整数k表示时间，记xk为变量x在时刻k的取值，则称Δxk=xk+1-xk为xk的一阶差分，称Δ2xk=Δ（Δxk）=xk+2-2xk+1+xk为xk的二阶差分。类似课求出xk的n阶差分Δnxk。由k，xk，及xk的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k周末体重为w（k），第k周吸收热量为c（k），热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型为w（k+1）=w（k）+αc（k+1）-βw（k）[2]，k=0，1，2，…，增加运动时只需将β改为β1+β，β1由运动的形式和时间决定。
二、数值分析在模型求解中的应用
插值法和拟合法在模型求解中的应用
1.拟合法求解
在数学建模中，我们常常建立了模型，也测量了（或收集了）一些已知数据，但是模型中的某些参数是未知的，此时需要利用已知数据去确定有关参数，这个过程通常通过数据拟合来完成。最小二乘法是数据拟合的基本方法。其基本思想就是：寻找最适合的模型参数，使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。
假设已建立了数学模型y=f（x，c），其中，c=（c1，c2，…，cm）T是模型参数。已有一组已知数据（x1，，y1），（x2，y2），…，（xk，，yk），用最小二乘确定参数c，使e（c）=∑ki=1（yi-f（xi，c））2最小。函数f（x，c）称为数据（xi，，yi）（i=1，2，…，k）的最小二乘拟合函数。如果模型函数y=f（x，c）具有足够的可微性，则可用微分方程法解出c。最合适的c应满足必要条件e（c）cj=-2∑ki=1（yi-f（xi，c））f（xi，c）cj=0，j=1，2，…，m。
2.插值法求解
在实际问题中，我们经常会遇到求经验公式的问题，即不知道某函数y=f（x）的具体表达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值，即已知一部分精确的函数值数据（x1，，y1），（x2，y2），…，（xk，，yk）。要求一个函数
yi=φ（xi），i=0，1，…，k，（2）
这就是插值问题。函数yi=φ（xi）称为f（x）的插值函数。xi（i=0，1，…，k）称为插值节点，式（2）称为插值条件[2]。多项式插值是最常用的插值方法，在工程计算中样条插值是非常重要的方法。
3.模型求解中的解线性方程组问题
在线性规划模型的求解过程中，常遇到线性方程组求解问题。线性方程组求解是科学计算中用的最多的，很多计算问题都归结为解线性方程组，利用计算机求解线性方程组的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化为便于求解的三角线性方程组，再求三角线性方程组，理论上直接在有限步内求得方程的精确解，但由于数值运算有舍入误差，因此实际计算求出的解仍然是近似解，仍需对解进行误差分析。直接法不适用求解n≥4的线性方程组，因此当n≥4时，可以采用迭代法进行求解。
迭代法先要构造迭代公式，它与方程求根迭代法相似，可将线性方程组改写成便于迭代的形式。迭代计算公式简单，易于编制计算程序，通常都用于解大型稀疏线性方程组。求解线性方程组的一般设计思想如下，假设建立一个线性规划模型
Ax=b
其中A=a11a12…a1na12a22…an2an1a12…ann，x=x1x2xn，b=b1b2bn，即A∈Rn×n，可将A改写为迭代的形式
x=Bx+f
并由此构造迭代法
xk+1=Bxk+f，k=0，1，2，…，
其中B∈Rn×n，称为迭代矩阵。将A按不同方式分解，就得到不同的迭代矩阵B，也就的带不同的迭代法，例如Jacobi迭代法[5]、高斯-赛德尔迭代法[5]、超松弛迭代法等。
由于计算过程中有舍入误差，为防止误差增大，就要求所使用的迭代法具有稳定性，即迭代收敛，收敛速度越快，误差越小。若x=Bx+f中，ρB
4.数值积分在模型求解中的应用
模型求解过程中可能遇到积分求解问题，用求积公式If=∫bafxdx=Fb-Fa，使定积分计算变得简单，但在实际应用中很多被积函数找不到用解析时表示的原函数，例如∫10e-x2dx，或者即使找到表达式也极其复杂。另外，当被积函数是列函数，其原函数没有意义，因此又将计算积分归结为积函数值的加权平均值。
假设a≤x0≤x1≤…≤xn≤b，则积分的计算公式[5]为∫bafxdx≈b-a∑ni=0αifxi，称其为机械求积公式，其中xi（i=0，1，2，…，n）称为求积节点，αi与f无关，称为求积系数或权数，机械求积公式是将计算积分归结为计算节点函数值的加权平均，即取∑ni=0αifxi≈fξ
得到的。由于这类公式计算极其便捷，是计算机计算积分的主要方法，构造机械求积公式就转化为求参数xi及αi的代数问题。
5.数值分析在求解微分方程中的应用
在数学建模中，所建立的模型很多时候是常微分方程或者偏微分方程，这些方程求解析解是很困难的，而且即使能够求得解析解，由于所用数据的误差得到的解也是近似值，所以大部分情况下会采取数值的方法进行求解。
三、误差分析
在数学模型中往往包含了若干参变量，这些量往往是通过观察得到的，因此也带来了误差，这种误差称为观察误差[4]。这些误差是不可避免的，所以我们只能在模型建立和模型求解中避免误差扩大。目前已经提出的误差分析方法有向前误差分析法与向后误差分析，区间分析法，及概率分析，但在实际误差估计中均不可行。不能定量的估计误差，因此在建模过程中更着重误差的定性分析，也就是算法的稳定性分析。
在误差分析中，首先要分清问题是否病态和算法是否稳定，计算时还要尽量避免误差危害。为了防止有效数字的损失，应该注意下面若干原则：一是避免用绝对值小的数作除数；二是避免数值接近相等的两个近似值相减，这样会导致有效数字严重损失；三是注意运算次序，防止“大数”吃“小数”，如多个数相加减，应按照绝对值由小到大的次序运算；四是简化步骤，减少算术运算的次数。
数学建模插值法范文篇5
三维重构的方法可分为面绘制与体绘制两大类。依据两类经典算法的各自特点,针对医学图像数据的三维快速重构与三维模型的简化问题,利用面绘制方法,采用了移动立方体算法MC(marchingcube)产生构成三维体表面的三角面片;再采用Tri-angledecimation算法对生成的模型作约减,约减的目的是用较少的三角面片来保证显示与处理的速度,用空间来换取时间。所提出的重建与组织同时生成的方法与具体算法,实现了三维模型的实时显示和与用户的快速交互。
2三维模型的快速重构、组织与去噪
在三维模型重构中我们选择了文献[1]提出的MC算法来提取三维等值面,MC算法遍历所有立方体的顶点,将顶点的物理量值与等值面值相比较,从而确定顶点与等值面的位置关系,通过线性插值得到等值面与Cube的交点,依次遍历所有的Cube,从而得到给定阈值的等值面。MC算法简单有效,可以有效的应用于密集数据场的三维表面模型重构,但MC算法在实际应用中还存在一些问题[2]:1)MC算法产生的结果为散乱而又大量的三角面片;2)算法对数据场的密集度要求较高;上述两点对三维模型重构与组织的速度、对三维模型真实再现的效果及后继的简化处理的效率影响很大。
2.1数据结构描述
针对上述MC算法,采取将三角面片的生成与组织同步完成的方法思路,在实现中采用顶点-边表的数据结构,即与某顶点共同组成一个三角形的边置于该顶点的边链中,边链按顺序存放。尽管这种顶点-边表结构会产生数据的冗余,同一个三角形被定义了3回,但这种结构突出了对顶点数据的重视,使得对后继处理尤其是约减处理带来很大方便,由于时间是矛盾的焦点,我们采用空间换时间的方法。在顶点-边表结构中每一个顶点对应两个队列:现存边链和删除边链。顶点数据结构中存放了该顶点的x,y,z坐标和顶点的删除次序。当顶点的删除次序为零时代表该点未被删除。边链中每一个Node由4部分组成:边对应的两个下标,该边的插入次序和删除次序。需要注意的是顶点对应的当前边链中边是按顺序存放的。对于上述结构我们可以用类将其封装起来,定义于其上的基本运算包括:插入顶点、删除顶点、插入边、删除边、插入三角面片、删除三角面片、边链顺序整理。
2.2三维模型的组织与快速重构
将MC生成的每一个三角面片插入上述的顶点-边表结构,需要两步工作[3,4]:①三角面片三个顶点的定位与插入;②三角面片的插入。顶点的定位是三角面片插入的基础。为快速的将MC生成的每一个三角面片插入上述顶点-边表结构中,待插入三角面片的三个顶点在顶点链中的定位的速度是关键因素,查找的速度直接影响三角网格生成组织的速度。由于一个三角面片只能与当前处理立方体和周围与该立方体相邻的立方体中的三角面片有共同特点,在查找三角面片三个顶点时可以充分利用MC算法“活动的立方体”的特性,从而大大缩小顶点的搜索范围,加速顶点的搜索定位过程。其算法步骤描述如下:1)分配缓冲区Buffer。假定搜索区域大小为X*Y*Z(X为图像长度,Y为图像宽度,Z为层数),缓冲区Buffer=newint[5*X*Y-2*(X+Y)]。Buffer包含了当前层中所有Cube的边。Buffer[i](0<=i,SIZE)存放的是该边所包含的等值面中顶点的下标。置其初值为零代表该边不与等值面相交。2)在按层遍历每一个Cube时,若某一Cube的某条边与等值面存在交点,则计算交点所在的边在Buffer中的下标N,判断Buffer[N]是否为零,若不为零,则Buffer[N]-1即为该点在顶点数组中的下标;若为零,则在顶点数组最后插入该顶点,并将该顶点在顶点数组中的下标加1存入Buffer[N]。3)将三角面片的三条边插入各自顶点的边链。4)当循环进入新的一层Cube时,更新Buffer。上述处理大大提高了顶点的定位效率,使得三角面片的生成与组织一步完成,节省了处理时间,提高了效率。组织后的三维模型为后继处理带来了很大的方便。
2.3三维模型中噪声点的去除
MC算法对数据场的密集度要求较高,实际应用中由于一些医学图像层间数据密集度较低,造成了用MC算法提取等值面的过程中产生了一些像“台阶”一样的中间层,影响了模型的真实再现。其实这些处于中间层上的点是由MC算法线性插值而得到的,但对生成的模型而言它们是噪点[5,6]。针对此问题,在具体实现过程中我们并没有采取插值的方法增加原始数据的密集度,以消除算法产生的“台阶”,而是充分利用上述已经得到的三维模型基础,方便的解决点去噪处理的问题。具体解决办法是:①遍历所有顶点,找出在输入数据密集度较低方向上的处于中间层的顶点;②给找出顶点做删除标记;③对删除顶点后得到的“洞”进行三角剖分处理,然后调整顶点-边表结构;④重复1)到3)步,直到满足的“中间层”顶点全部删光。模型经上述处理后,“台阶”自然不复存在,模型也“光滑”了,同时三角面片也得到相当程度(50%以上)的减少。其实这种做法与先在各层求出等值轮廓线、再在相邻两层的等值轮廓线间通过三角剖分得到三维模型的方法相比有异曲同工之处。在后续的约减算法中,也需要利用三角剖分算法,所以在去噪工作中无须新增添代码模块,依赖于在约减之前对数据所作的预处理。
3三维模型的简化与多分辨率模型的生成
数学建模插值法范文篇6
关键字：Kriging法；DEM生成；最近邻点插值；LiDAR
Abstract:inthispaper,accordingtothetheoryofKrigingmethoddesigndevelopedKriginginterpolationprocedures.Thisapplicationimplementsdiscretedatagrids,cangenerateDEMmodel,andavailablefordistanceFanBiLiweightingmethodisthenearestandpointsinterpolation.Finally,basedonaninstancedata,tothearticleprogramtothetestandrepairtheLiDARdatafilterinthe"hole",andgeneratedthediscreteelementmethod(DEM)model,andthedifferentinterpolationresultswerecompared.
Keyword:Krigingmethod;DEMdevelopment;Thenearestpointinterpolation;LiDAR
中图分类号：TU196文献标识码：A文章编号：
引言：
机载LiDAR（LightDetectionandRanging）系统是一种主动式对地观测系统，是20世纪90年代初投入使用的一门新兴技术，该系统在三维空间信息的实时获取方面产生了重大突破，为获取高时空分辨率地球空间信息提供了一种全新的技术手段。LiDAR系统集激光测距技术、计算机技术、惯性测量装置（IMU）、DGPS差分定位技术于一体，通过激光雷达传感器发射的激光脉冲经地面发射后被LiDAR系统接收，能直接获取高精度三维地表地形数据，是对传统摄影测量技术的重要技术补充。机载LiDAR系统与其他遥感技术相比具有自动化程度高、受天气影响小、数据生产周期短、精度高等特点，是目前最先进的能实时获取地形表面三维空间信息和影像的航空遥感系统。
LiDAR数据是离散的三维点云数据，数据量大，它不同于影像数据像元间的紧密连接关系，而是离散的非连续关系。DEM是对地貌形态的虚拟表示，可派生出等高线、坡度图等信息。机载LiDAR数据点位精度较高，高程精度甚至可达0.10m左右，是目前较为理想的生产较大范围、快速生成DEM的数据源。
数据处理流程大致为：原始3D激光雷达扫描数据-->地面点三维坐标计算-->滤波-->数据内插-->DEM生成。从数据处理的流程可见，选择合适的空间内插法显得尤为重要。
1.空间数据插值方法概述
如何通过己知的数据采样点，计算出相关的未知点或相关区域内所有的点是空间插值的研究内容。通过插值计算，可以估计某些无法观测的数据，以提高数据密度。最大程度地利用这些数据信息，可以全面认识大气、地质、油藏和水流等分布特征和空间变化情况。
总的来说，根据插值任务不同，空间数据插值可归纳为补值、构造等值线或等值面、数据网格化三个目的。
目前常用的常用空间插值方法有：最近邻点插值法，距离反比加权插值法，趋势面拟合，样条函数方法，最小曲率法，立方卷积法，双线性内插，随机模拟方法，确定性模拟，空间统计方法。空间统计方法以Kriging及其各种变种为代表。下面着重介绍空间统计学方法。
2、空间统计方法介绍及Kriging算法
空间统计学又称地质统计学，其基本假设是建立在空间相关的先验模型之上的。假定空间随机变量具有二阶平稳性，或者是服从空间统计的本征假设。则它具有这样的性质：距离较近的采样点比距离远的采样点更相似，相似的程度、或空间协方差的大小，是通过点对的平均方差度量的。点对差异的方差大小只与采样点间的距离有关，而与它们的绝对位置无关。空间统计内插的最大优点是以空间统计学作为其坚实的理论基础，可以克服内插中误差难以分析的问题，能够对误差做出逐点的理论估计；它也不会产生回归分析的边界效应。缺点是复杂，计算量大，尤其是变异函数(variogram)是几个标准变异函数模型的组合时，计算量很大；另一个缺点是变异函数需要根据经验人为选定。空间统计方法以Kriging及其各种变种为代表。
从数学角度抽象地说，Kriging是一种求最优、线性、无偏内插估计量的方法。如果更具体些说，Kriging法是在考虑了信息样品的形状、大小极其与待估块段相互之间的空间分布位置等几何特征，以及变量(如矿石品位、煤层厚度)的空间结构信息后，为了达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每个样品值分别赋予一定的权系数，最后用加权平均法来对待估块段(或盘区)的未知量进行估计的方法。也可以说，Kriging法是一种特定的滑动加权平均法。
3Kriging插值算法在机载LiDAR数据生成DEM中的应用实例
获取数据的测区包括一片城区和一片山区，地形有起伏，点间距为左右，有79806个点。此点云数据已经经过滤波处理，有大片的“空洞”。数据存放在一个文本文件中，存放格式为。
各种不同的插值算法是在基于matlab平台的编程中实现的。本实验中共实现了kringing插值，距离二次方反比例加权插值和距离三次方反比例加权插值，最邻近点插值四种插值算法，并对四种算法插值结果做出比较。四种插值算法的结果在Geomagic上显示如下：
4770个数据点Geomagic显示图普通Kriging法插值用Geomagic显示图最近邻点插值结果Geomagic显示图距离二次方反比例加权插值显示图距离三次方反比例加权插值Geomagic显示图
从交叉验证结果分析可得：
(1)Kriging法的插值结果优于距离反比例加权的插值结果。可见距离反比例加权插值虽然结果平滑美观，但与实际不符；Kriging法的插值结果较符合实际。
(2)距离三次方反比例加权插值比距离二次方反比例加权插值效果好，可见增大距离的乘方次数可以提高插值效果。
（3）最近邻点法和距离反比例加权法相对于Kriging法来说计算量大大减少。
结语：
本文根据在机载LiDAR数据生成DEM中的应用实例对三种插值的结果进行了分析和比较，可得出结论，Kriging法最好，距离反比例加权法次之，最近邻点插值法插值结果最差。但在计算时间和计算量上，Kriging法计算量最大，耗时最长；最近邻点插值法计算量最少，计算时间按最短。在处理中小规模数据时选用Kriging法最好，在处理大规模数据时选用距离反比例加权法最经济。
可见，各种方法都有其优点和缺点，在实际运用中，我们应当根据不同的需求采取不同的插值方法进行计算。
参考文献
[1]孙洪泉.地质统计学及其应用.徐州：中国矿业大学出版社，1990
[2]孙洪泉，康永尚，杜惠芝.实用地质统计学程序集.北京：地质出版社，1997
数学建模插值法范文篇7
关键词：加工效率、精度、调整方法
1、调整相关要素
调整中涉及的程序要素：
零件特征主要是点、线、面。程序主要是由直线、圆弧构成。
调整中涉及的刀具要素：
铣刀刃数、刀具前角后角参数、刀具螺旋角、刀具材料等等。
调整中涉及的切削参数：
下刀方式、切削深度、进给率、进给间隔等等。
调整中涉及的电气特点：
a、数控的插补原理。
b、运动状态下电气位置偏差。
c、G1插补模式时电流特性。
2、电气误差分析
本文以最常见的外圆铣削为例进行说明。下图1-1为外圆铣削插补示意图，因伺服延迟、切削力造成的刀具反弹，实际轨迹与指令轨迹之间存在一定的误差。
对于切削力部分的影响，可以通过选择合理的刀具、切削液、切削参数来降低误差。此部分现场工艺的人员都比较清楚相，本文不进行阐述。
图1-1
τ谒欧延迟的影响，可以进行分析并采取合适的措施降低。下表1-1为两种插补模式的理论误差比较：
表1-1
Ts：NC内部的加减速时间常数（s）
Tp：伺服系统的位置环时间常数的倒数
SHG模式时为倒数的二分之一。（s）
Kf：前馈系数（%）
F：进给速度
从上表1-1可以看出：
1）在插补后加减速控制模式下，加减速时间常数对误差的影响成近似平方的关系，即加减速时间常数越大，误差越大。
2）在插补后加减速控制模式下，位置环时间常数对误差的影响成近似平方的关系，即位置环时间常数越小，误差越大。
3）在插补后加减速控制模式下，铣削半径误差的影响成反比的关系，即半径越小，误差越大。
4）在插补后加减速控制模式下，加工速度对误差的影响成平方的关系，即速度越大，误差越大。
5）在插补前加减速控制模式下，加减速时间常数对误差的影响可以忽略。
6）在插补前加减速控制模式下，位置环时间常数对误差的影响成平方的关系，即位置环时间常数越小，误差越大。
7）在插补前加减速控制模式下，铣削半径误差的影响成反比的关系，即半径越小，误差越大。
8）在插补前加减速控制模式下，加工速度对误差的影响成平方的关系，即速度越大，误差越大。
9）在插补前加减速控制模式下，前馈系数越小，误差越大。
以上1～4项分析，阐述了在插补后加减速模式下加减速时间常数、位置环时间常数、铣削半径、加工速度的关系；5～8项分析，阐述加减速时间常数、位置环时间常数、铣削半径、加工速度、前馈系数的关系。
在上表1-1插补前加减速控制模式中（高精度控制模式），从插补原理的数学模型看，加减速时间常数对误差的影响是可以忽略的。实际上，加减速时间常数与前馈系数存在一定的关系，两者均会影响到伺服轴的响应能力。因此可以推出一个假设的数学模型I（该模型暂不考虑其它因素的影响），即：
“【最优伺服轴最优响应能力】=【加减速时间常数+前馈系数】的最优组合值”。
同理，我们可以找出一个更全面的模型II即：
【最优的性能】=【加减速时间常数+前馈系数+位置环时间常数+其它降低机械冲击的参数设定+切削参数+其他工艺参数】的最优组合值”
3、电气及工艺优化的实现
数学模型II包含了较多的因素，是一个模糊的数学模型。以下我们将阐述如何将这个“模糊的模型”实用化。
建议将产品类型假定划分为9类，关系如下表1-2：
我们可以根据不同类型的产品，以数学模型II为方向，经过测试及检测，得到适合不同类别产品的最优数据。
以下是优化数据的构架建议：
加工工艺优化及电器参数的优化根据精度优先的原则进行，在精度达到各类型产品要求的基础上，逐步向速度方向调整，调整结构建议如下：
4、小结
工艺优化是有效提高生产效率降低成本的常用方法，结合电气的工艺调整，有助于进一步提高效率和降低成本。此调整方法适用于希望建立针对机床特点的工程管理数据库的机床制造商来完成。因篇幅限制，本文中工艺部分未作阐述，电气部分调整阐述未涉及详细方法。
参考文献：
MitsubishiProgramingManualM-typebnp-b2182（eng-d）
数学建模插值法范文
关键词：数值逼近；数学建模；模型求解
数值分析主要解释了现代科学计算中使用的数值计算规则及它的基本原理，研究并求解数值问题的近似解，是数学原理与计算机以及实际问题的有机结合[1]。随着现代科技的快速发展，运用数学思想解决科学技术和工程研究领域中的现实问题，已经得到广泛重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在模型构建的过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法，如插值方法、最小二乘法、拟合法等。
一、数值分析在模型建立中的应用
在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。
以非负整数k表示时间，记xk为变量x在时刻k的取值，则称Δxk=xk+1-xk为xk的一阶差分，称Δ2xk=Δ（Δxk）=xk+2-2xk+1+xk为xk的二阶差分。类似课求出xk的n阶差分Δnxk。由k，xk，及xk的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k周末体重为w（k），第k周吸收热量为c（k），热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型为w（k+1）=w（k）+αc（k+1）-βw（k）[2]，k=0，1，2，…，增加运动时只需将β改为β1+β，β1由运动的形式和时间决定。
二、数值分析在模型求解中的应用
插值法和拟合法在模型求解中的应用
1.拟合法求解
在数学建模中，我们常常建立了模型，也测量了（或收集了）一些已知数据，但是模型中的某些参数是未知的，此时需要利用已知数据去确定有关参数，这个过程通常通过数据拟合来完成。最小二乘法是数据拟合的基本方法。其基本思想就是：寻找最适合的模型参数，使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。
假设已建立了数学模型y=f（x，c），其中，c=（c1，c2，…，cm）T是模型参数。已有一组已知数据（x1，，y1），（x2，y2），…，（xk，，yk），用最小二乘确定参数c，使e（c）=∑ki=1（yi-f（xi，c））2最小。函数f（x，c）称为数据（xi，，yi）（i=1，2，…，k）的最小二乘拟合函数。如果模型函数y=f（x，c）具有足够的可微性，则可用微分方程法解出c。最合适的c应满足必要条件e（c）cj=-2∑ki=1（yi-f（xi，c））f（xi，c）cj=0，j=1，2，…，m。
2.插值法求解
在实际问题中，我们经常会遇到求经验公式的问题，即不知道某函数y=f（x）的具体表达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值，即已知一部分精确的函数值数据（x1，，y1），（x2，y2），…，（xk，，yk）。要求一个函数
yi=φ（xi），i=0，1，…，k，（2）
这就是插值问题。函数yi=φ（xi）称为f（x）的插值函数。xi（i=0，1，…，k）称为插值节点，式（2）称为插值条件[2]。多项式插值是最常用的插值方法，在工程计算中样条插值是非常重要的方法。
3.模型求解中的解线性方程组问题
在线性规划模型的求解过程中，常遇到线性方程组求解问题。线性方程组求解是科学计算中用的最多的，很多计算问题都归结为解线性方程组，利用计算机求解线性方程组的方法是直接法和迭代法。直接法基本思想是将线性方程组转化为便于求解的三角线性方程组，再求三角线性方程组，理论上直接在有限步内求得方程的精确解，但由于数值运算有舍入误差，因此实际计算求出的解仍然是近似解，仍需对解进行误差分析。直接法不适用求解n≥4的线性方程组，因此当n≥4时，可以采用迭代法进行求解。
迭代法先要构造迭代公式，它与方程求根迭代法相似，可将线性方程组改写成便于迭代的形式。迭代计算公式简单，易于编制计算程序，通常都用于解大型稀疏线性方程组。求解线性方程组的一般设计思想如下，假设建立一个线性规划模型
Ax=b
其中A=a11a12…a1na12a22…an2an1a12…ann，x=x1x2xn，b=b1b2bn，即A∈Rn×n，可将A改写为迭代的形式
x=Bx+f
并由此构造迭代法
xk+1=Bxk+f，k=0，1，2，…，
其中B∈Rn×n，称为迭代矩阵。将A按不同方式分解，就得到不同的迭代矩阵B，也就的带不同的迭代法，例如Jacobi迭代法[5]、高斯-赛德尔迭代法[5]、超松弛迭代法等。
由于计算过程中有舍入误差，为防止误差增大，就要求所使用的迭代法具有稳定性，即迭代收敛，收敛速度越快，误差越小。若x=Bx+f中，ρB
4.数值积分在模型求解中的应用
模型求解过程中可能遇到积分求解问题，用求积公式If=∫bafxdx=Fb-Fa，使定积分计算变得简单，但在实际应用中很多被积函数找不到用解析时表示的原函数，例如∫10e-x2dx，或者即使找到表达式也极其复杂。另外，当被积函数是列函数，其原函数没有意义，因此又将计算积分归结为积函数值的加权平均值。
假设a≤x0≤x1≤…≤xn≤b，则积分的计算公式[5]为∫bafxdx≈b-a∑ni=0αifxi，称其为机械求积公式，其中xi（i=0，1，2，…，n）称为求积节点，αi与f无关，称为求积系数或权数，机械求积公式是将计算积分归结为计算节点函数值的加权平均，即取∑ni=0αifxi≈fξ
得到的。由于这类公式计算极其便捷，是计算机计算积分的主要方法，构造机械求积公式就转化为求参数xi及αi的代数问题。
5.数值分析在求解微分方程中的应用
在数学建模中，所建立的模型很多时候是常微分方程或者偏微分方程，这些方程求解析解是很困难的，而且即使能够求得解析解，由于所用数据的误差得到的解也是近似值，所以大部分情况下会采取数值的方法进行求解。
三、误差分析
在数学模型中往往包含了若干参变量，这些量往往是通过观察得到的，因此也带来了误差，这种误差称为观察误差[4]。这些误差是不可避免的，所以我们只能在模型建立和模型求解中避免误差扩大。目前已经提出的误差分析方法有向前误差分析法与向后误差分析，区间分析法，及概率分析，但在实际误差估计中均不可行。不能定量的估计误差，因此在建模过程中更着重误差的定性分析，也就是算法的稳定性分析。
在误差分析中，首先要分清问题是否病态和算法是否稳定，计算时还要尽量避免误差危害。为了防止有效数字的损失，应该注意下面若干原则：一是避免用绝对值小的数作除数；二是避免数值接近相等的两个近似值相减，这样会导致有效数字严重损失；三是注意运算次序，防止“大数”吃“小数”，如多个数相加减，应按照绝对值由小到大的次序运算；四是简化步骤，减少算术运算的次数。
四、结论
随着电子计算机的迅速发展、普及以及新型数值软件的不断开发，数值分析的理论和方法无论是在高科技领域还是在传统学科领域，其作用和影响都越来越大，实际上它已成为科学工作者和工程技术人员必备的知识和工具，所以把数值分析的知识正确的应用到数学建模中去不仅是一种趋势，更是用数学的理论解决实际问题的关键。（作者单位：河南师范大学数学与信息科学学院）
参考文献：
[1]郑慧娆，陈绍林，莫忠息，等.数值计算方法[M].武汉：武汉大学出版社，2002.
[2]陈东彦，李冬梅，王树忠.数学建模[M].北京：科学出版社，2007.
[3]姜启源，等.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2003.
数学建模插值法范文1篇9
管理会计主要的任务是对经济业务活动进行预测，进而对其进行分析与决策。决策的正确与否关系到企业的生存与发展。正确的决策要依据正确的预测，预测分析是决策的前提与基础。预测分析的基本方法可分为定量分析和定性分析。定量预测分析法是指运用数学模型预测未来的方法。在实际工作中，由于数据量大、涉及的因素多以及计算的复杂性，给手工建立数学模型和进行预测分析造成了很大的困难，有的甚至根本无法进行。
随着MATLAB等数学软件的开发和普及，减少了对计算机编程的要求，大大提高了数据处理的效率，我们利用MATLAB软件进行数据处理，可以非常简便的得到各变量的关系表达式。MATLAB程序设计语言集成度高，语句简洁高效，具有出色的数值运算和绘图功能，利用各种各样领域专业专家编写的工具箱，可以高效、可靠地解决各种各样的问题，具有不可替代的优势，越来越多的高校将MATLAB融入到教学中。目前在教学中引入MATLAB已成为线性代数、高等数学、数理统计、自动控制理论等课程的基本教学工具。该文通过数据插值和拟合演示MATLAB在管理会计教学中发挥的作用。
1应用举例
1.1一维插值的预报问题求解
函数的插值是指由样本点的信息获得未知函数在其他点上的函数值的方法。Matlab提供了若干个插值函数，常用的一维插值函数interp1的调用格式为y=interp1（x，y，x1，’spline’），其中x、y两个向量分别为给定自变量和函数值，即样本坐标。x1为指定的新的插值点的横坐标，y为x1对应的插值结果。‘spline’是拟合效果比较好的一种插值方法。预报是一种插值，由现有的数据预测将来时刻的数据，例如已知近年来的产量预测未来某年的产量。
例1Excel文件profit.xls给出了某公司产品的历史年度利润，其中A列为时间，G列为利润。试以样本点为基础进行插值处理，预测未来三年的年度利润。
解MATLAB支持与EXCEL文件之间的数据交互，利用xlsread（）函数可以很方便地读入相关数据，其调用格式为X=xlsread（文件名，区域），其中“区域”为所需的矩形区域标记。由下列语句可以得到未来三年的年度利润插值结果，如图1所示。
1.2多项式拟合
能够较好地拟合原始数据。多项式拟合不能保证每个样本点都在拟合的曲线上，但能使得整体的拟合误差较小。MATLAB提供polyfit（）函数来实现多项式拟合，其调用格式为p=polyfit（x，y，n），其中，x、y为原始的样本点构成的向量，n为选定的多项式阶次，得出的p为多项式系数按降幂排列得出的行向量。我们还可以用符号工具箱中的poly2sym（）函数将p转换成多项式形式，或者利用polyval（）函数求出多项式的值。
例2已知一组实测数据由表给出，试用多项式拟合的方法对数据进行逼近，选择一个较好拟合实测数据的多项式阶次。
从图2可以看出5次和8次多项式的拟合效果比3次多项式的拟合效果好。
1.3最小二乘曲线拟合
数学建模插值法范文1篇10
关键词：矿山；三维；地质模型；不确定性
1概述
随着科学技术及计算机技术的日益发展，应用于工业生产的三维可视化技术也日臻完善。国内外，以三维可视化技术为支撑的软件也随之被开发。国外软件中，以SURPAC软件应用较为广泛。
矿山三维地质模型的不确定性对矿山生产决策的正确与否有着重要的影响。正确地对矿山三维地质模型进行不确定性分析可以对其本身和在其基础上所作的决策做出科学的评价。可以看出，矿山三维地质模型不确定性的研究对提高矿山决策水平的科学性和可靠性、建立矿山三维地质模型的不确定性的数学模型和评价体系等方面无疑具有重要的理论意义和实际应用价值。
2矿山三维地质模型不确定性产生原因
矿山三维地质模型是众多空间离散数据在一定建模方法下形成的空间形态，其不确定性产生的原因主要来源于矿山原始数据的不确定性及建模方法导致的不确定性。以下通过对SURPAC软件建模过程的介绍来阐述矿山地质模型不确定性产生的原因。
2.1SURPAC地质模型的建立
通过对已有的矿山基础数据进行整理，形成可应用于SURPAC软件建模的基础数据类型。将整理后的地质数据导入到软件地质数据库中，形成孔位表、孔斜表岩性表等。通过提取地质表中数据，分别提取每个钻孔中各地质层的三维坐标，再通过估值形成各地质层DTM面。
2.2矿山三维地质模型不确定性产生原因
矿山工程软件对数据的估值及模型建立的方法基本相同，故由上述SURPAC软件的建立过程可以看出，矿山三维地质模型不确定性产生的原因主要有以下几个方面。
2.2.1建模原始数据的不确定性。矿山三维地质模型建模的原始数据主要是钻孔成果数据和其它成果数据，建模原始数据的不确定性主要来自位置不确定性和属性不确定性。
2.2.2研究建模方法产生的不确定性。矿山三维地质模型在有限的数据下必须经过插值才能近似地描述矿床，由于插值方法的精度有限，插值方法也将产生不确定性，进而导致矿山三维地质模型的不确定性。
3矿山三维地质模型不确定性解决方案、技术浅析
针对矿山地质模型不确定性产生的主要原因，可通过不确定性理论方法建立原始数据不确定性数学模型来解决建模原始数据不确定性问题；通过理论分析和实验相结合的方法来解决建模方法导致的不确定性问题。
3.1解决方案浅析
（1）通过对矿山三维地质模型建立所需的原始数据采集、分析和表达传递等过程的分析，确定原始数据位置及属性不确定性产生的来源，采用目标模型、概率论及数理统计方法和云理论等理论方法建立原始数据的位置不确定性模型和属性不确定性模型。（2）对矿山三维地质模型不确定性采用理论分析和实验相结合的方法进行研究。首先从理论上分析各种不同插值方法的精准度，确定形成不同插值结果时应选用的建模方法，实现对建模方法的不确定性的定量描述。（3）矿山三维地质模型的不确定性由原始数据的不确定性和建模方法的不确定性组成，通过对原始数据的不确定性和建模方法的不确定性进行叠置分析，可以建立矿山三维地质模型的不确定性数学模型，并通过矿山的实际数据建立矿床地质模型，在矿山的生产设计中对矿山三维地质模型的不确定性进行验证。
3.2解决技术浅析
针对导致矿山三维地质模型不确定性产生的原始数据的不确定性和建模方法的不确定问题，可以通过矿山空间数据集成、数据挖掘技术和矿山三维地质模型建模方法的优化来改善。
3.2.1矿山空间数据集成和数据挖掘
矿山的基础数据为地质勘探活动形成的最基本的数据，既原始数据。通过对原始数据的分析和整理形成了地质勘探的成果数据。由成果数据通过软件进行估值，衍生出了生成数据。以上三者之间有着较为密切的联系。可以通过对这三类数据之间的数据流进行分析，得出它们相互间的内在联系。
根据矿山空间数据的特点，采用不同的数据挖掘方法，可分别实现对钻孔数据、煤岩参数和测量数据的数据挖掘。根据空间数据的方向变化能够产生聚类这一特点，可以采用基于方向的空间数据聚类方法，设计和实现方向聚类算法，并用实验数据对算法进行验证。
3.2.2矿山地质模型建模方法
根据采用的技术不同，建模方式有多种，下面主要介绍三种建模方法。
（1）基于裁剪曲面的矿床表面模型建模方法使用加权最小二乘拟合法对煤层顶底板表面进行拟合，建立用四边形表示的煤层顶底板曲面，然后使用各种地质构造对煤层顶底板曲面进行裁剪，最终得到了基于四边形裁剪曲面的矿床地质模型，如图1所示。（2）基于三角面的矿床表面模型建模方法在矿床建模时，以矿体的顶底板等高线为原始数据，矿山地表和矿体表面均采用约束三角剖分建立矿床地质模型。先分别对各地质层面进行三角剖分，对各层面集成后形成整个矿山表面模型。如图2所示，为SURPAC生成的DTM面及三角网。（3）基于不规则四面体的三维实体建模方法具有很多优点，但其缺乏界面性。不规则四面体模型以四面体作为基本体元来描述对象，各个四面体相互连接但不重叠，通过四面体间的邻接关系来反映空间实体间的拓扑关系，这些四面体的集合就是对原三维物体的逼近，经常用来刻画空间复杂的不规则物体。在采用该方法时，为避免其缺乏界面性的缺点，首先应对矿体的等高线进行离散化，再对依据各地学分层属性划分的离散点进行不规则四面体剖分，最后完成矿山三维地质模型的建立。
针对单一矿山空间数据模型的不足，可对由等高线模型、基于约束三角剖分的表面模型和基于不规则四面体的实体模型进行集成，进而实现对矿山空间数据模型的集成管理。对原始数据、成果数据、生成数据和矿山空间数据模型四者相互间的数据流进行分析，得出各类矿山空间数据间的内在联系，实现对矿山三维空间数据的集成。
4结束语
三维可视化技术应用于矿山地质建模可对煤层赋存状态、空间特性进行有效的显示，但由于原始数据位置及属性的不确定性及建模方法导致的不确定性直接造成了矿山三维地质模型的不确定性，而矿山三维地质模型的不确定性对矿山生产决策的正确与否有着重要的影响。因此，矿山三维地质模型的不确定性的数学模型和评价体系等方面无疑具有重要的理论意义和实际应用价值，应进行进一步深入研究。
参考文献
[1]王志宏，陈应显.露天矿矿床三维建模技术及可视化研究[J].辽宁工程技术大学学报：自然科学版，2004，23（2）：145-148.
数学建模插值法范文篇11
摘要：本文论述了在计算方法课程建设中，应用数学实验手段进行课程的教学改革，使学生更好地了解计算方法各种数值算法的背景、概念和设计，提高他们的探究和自学能力。
关键词：计算方法；课程建设；数学实验
中图分类号：G642
文献标识码：B
计算方法是以数学理论为基础，以计算机为计算工具，研究在计算机上解决数学问题的方法，是与计算机发展密切相关的一门课程。随着计算机硬件性能的不断升级和软件工具的不断更新以及计算应用的日益普及和深入，促使计算方法课程的教学内容和教学方法也需要“与时俱进”的进行调整和改革。
数学实验是将实际问题通过数学的理论和方法转化为数学模型，并进而使用理论分析或科学汁算的手段解决问题的过程。近年来，随着素质教育改革的深入和汁算机应用的普及，继数学建模课得到普遍开设之后，数学实验课程升设成为大学数学教学改革的―个探索方向。
在计算方法课程建设中，需重视数学实验，根据教学内容的特点，充分运用数学实验手段，从而培养学生探究能力。本文就应用数学实验思想改革计算方法课程提几点建议。
1运用数学实验帮助学生了解算法背景
目前的计算方法课程，一般是根据数学问题的不同而分门别类的介绍各种数学问题的数值解法。对于各种数值方法，按照严密的逻辑体系，从方法的数学推导过程、几何意义、计算公式和收敛情况、误差分析及应用例题循序渐进的逐一讨论。在学生眼里，计算方法就是教材中用抽象的数学符号表示的计算公式和收敛定理的证明，其应用就是计算在数学分析和高等代数等课程中的数学题目，这样一来计算方法的来源和背景在教学过程中很容易被掩盖。但是，借助于数学实验手段对实际问题在计算机上进行编程、模拟、数据分析，可以了解数值算法的工程背景，提高学习数学的积极性，从而能够更好地设计算法。
例如，运行数学软件matlab程序
figure
set(gcf,'menubar','none')
axes('position',[0011])
[x,y]=ginput
然后将你的手直接放在弹出窗口中，用鼠标点击选取需要的插值点，最后回车得到所有插值点的坐标。但是怎样才能根据几个坐标在屏幕上“显现”出你的手呢？如果学过计算方法中插值的知识，通过这个例子可以了解到插值的工程背景，分析该问题，可用构造“参数曲线”的方法，即在参数区间上选取个插值点，然后用三次样条插值构造逼近函数在个点上的值，最后以这个点作出图形。如下图所示。
上例中，从模拟人手的形状进行探索试验，通过对少量数据的分析，找出更多数据的求值方法，从而确定各种数值方法所适应的问题背景，这整个过程便是应用了数学实验的思想，可见数学实验也是培养学生探索能力的有力载体。数学实验具有直观性、操作性、反复性、探索性等特点，在数学知识的发生、发展过程中。在实际问题的解决过程中，恰当运用数学实验手段，可以使学生直接地观测、亲自动手操作、深入思考分析、反复探索研究。因此在计算方法课程的教学过程中，充分重视数学实验，学生探索能力自然会得到不断提升．
2运用数学实验帮助学生形成算法概念
解决数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思维，但有些问题按照这样的思维方式求解。往往打不开思维，形成不了思路，借助于数学实验手段对问题进行探究，能帮助我们越过或绕过问题的障碍，克服思维上的困难，逐步形成解决问题的新思路、新途径。
在计算方法课程的众多算法中，许多概念或知识都来源于工程、经济领域。可以通过数学实验帮助引导学生从现实经验中抽象出数值算法的概念和过程，可通过实验对各种算法进行探索、比较，然后将得到的结论归纳整理成一个有意义的整体，继而对算法的思想产生顿悟、理解，逐步形成新的概念或新的知识．
例如，计算方法的截断误差是数值计算中误差的重要来源，然而不是唯一的！学生对这个概念理解起来还是有些困难的，但是如果在实验中确定已将取道足够小的话，特别在高阶导数的计算中，就会发现当小到一定程度之后，数值计算结果的误差不但不再减小，反而会变大！(见下图)事实上，当步长过小时，计算结果的误差变大就是由于舍入误差的缘故。利用这一生动直观的实验展开探索，使学生对“截断误差”的概念以及它与舍入误差的关系有了一个感性上较为明确的认识，同时也增强了学生主动探索问题的能力．
可见，在课程的教学过程中，借助数学实验手段积极引导学生运用数学模型、数学软件，大胆的去编程、试验、探讨，使数学的学习成为一种主动的探究过程。
3运用数学实验帮助学生更好地设计算法
应用计算机解决科学技术中的具体问题时，首先要将具体问题抽象为数学问题，即建立能描述等价代替实际问题的数学模型，其次是为该数学问题选择合适的计算方法，然后再应用程序设计语言编程或应用数学工具软件在计算机上计算并分析计算结果。在进行程序设计时，必须要先将具体的计算方法描述为算法。算法设计是程序设计的核心和关键，只要算法是正确的，由程序设计语言去实现算法就不会有太多困难。同时，用流程图表示的算法具有直观性，当由抽象的数学符号和公式表示的各种计算方法一旦描述成算法，就变成了非常直观和浅显的东西，借助算法，学生可以“看到“计算方法在计算机上是怎样实现的，能够帮助学生更深刻的理解计算方法。
虽然在程序设计语言课程中，学生已经学习了一些算法设计方法，并掌握了一些最基本、最常用的算法，但是，对多数学生来说，由于计算方法所解决问题的复杂性和专业性，将其设计为算法并不是一件容易的事。以解线性方程组的高斯主元素消去法为例，将选主元素、消元、回代的计算过程设计为算法，需要综合应用选择矩阵最大值、矩阵运算、循环、递推等基本算法。而计算方法课程如果不解决算法设计问题，那么这些数值计算方法对于学生来说仍然是“纸上谈兵”。但是，借助数学实验手段，我们可以更好地总结出不同算法之间的区别，各自的优缺点以及它们的重要性质，从而能够更好地设计出适合的数值算法。
例如，用y=x½在x=0,1,4,9,16产生5个节点P1,…P5。用几种不同的节点(如用P3,P4构造，或用P1,P2,P4,P5构造或用构造)构造拉格朗日插值公式来计算x=5处的插值，学生通过进行数学实验，用几种不同的节点构造插值，最后得出结论当选取x=5附近的点作为插值节点时得到的数值结果较精确。
所以，通过数学实验，让学生借助特例，通过不完全归纳，自己去发现规律、提出猜想、然后再论证。在这里通过编制程序、观察分析、归纳猜想的过程。不仅是一项很有意义的“思考性实验”，更是锤炼探索能力的有效途径。
参考文献
[1]石钟慈.第三种科学方法－计算机时代的科学计算[M].北京:清华大学出版社,2000.
数学建模插值法范文篇12
［关键词］不规则三角网（TIN）加密重心权值
一、引言
TIN模型的应用十分广泛，如空间对象的3维可视化，任意剖面的切割，度坡向的计算等等。到目前为止，虽然TIN模型的自动生成算法己经十分成熟，但由于三角形的顶点大多属于原始数据点或等值线特征点(如拐点)，所以，对于不同的应用需求，数据点的分布均匀程度相差很大，三角形的空间分布不如格网模型那么均一。为了保证TIN模型的精度，常常需要对不同来源的TIN进行加密处理，使模型更加接近实际。加密TIN模型的本质是形成更多的三角形。常用的加密方法有如下几种，如图1所示
如图1所示，三角形顶点或三角形各边特征点与加密数据相连，就可以形成新的三角形。新增的加密数据是未知的，需要进行插值处理。原来使用的各种插值计算方法十分简单，但精确度不高，加密后等高线协调性和合理性不佳。本文提出一种更为合理的插值方法，对插值点进行计算。
a.顶点与三边中点连接成六个三角形b.三边中点连接成四个三角形
c.三角形重心与三顶点连接成三个三角形
图1常用三角形加密法
二、加密TIN模型的算法介绍
对TIN模型进行加密，关键是选取合适的插值点，然后对插值点的高程进行合理的运算。
1插入点的位置选取（即XY的坐标取值）
对加密TIN模型时，一般选取三角形内某一特殊点，如，垂心、重心等。其中，三角形的重心是三角形是最平衡的一个点，所以，我们插入点的xy取值在所在三角形的重心位置。即
如图2所示O点位置。
2.插入点的高程值的计算（即的坐标值）
空间插值的理论假设是：空间位置上越靠近的点，越可能具有相似的特征值，而距离越远的点，其特征值相似的可能性越小。基于这个假设，现有很多种插值方法可以选择。双三次样条函数对数据构型的要求十分严格，而趋势面拟合的曲面不通过原始数据点。此外，距离平方倒数法等算法的处理结果并不处于同一光滑的曲面上。
基于对空间插值假设理论的思考，本文提出一种利用三角形重心到到三边的垂点的距离――即三角形上距重心最近的三点的距离的倒数为权值，通过加权方法计算插值点高程的方法。
在空间三角形ABC中（如图2），D、E、F三点为重心点O到三边AB、BC、CA的垂足，利用平面坐标系上A、B、C三点和重心O的(x,y)值分别计算D、E、F的位置，即三点的(x,y)值。三点高程、、分别通过三次样条插值法，利用已知A、B、C三点高程计算获得。此时，D、E、F三点即为距离O点最近的三个已知点。
D、E、F三点到O点距离分别为、，取为权值计算O点高程，基于对空间插值假设理论的思考，利用如下公式：
即得所求插值点的高程。
三、加密高程点的实验
为了验证上述对高程点加密的方法对等高线的影响，对实际测量数据进行加密分析试验。
取某地实地测量数据，共33个高程点，生成TIN模型如图3(a)所示，将这33个已知数据生成的三角网中的三角形顶点坐标按照上文中提出的方法进行计算。根据计算后的结果得加密TIN模型如图3(b)所示。
分别使用加密前后TIN模型生成的等高线，如下图4(a)和4(b)所示。
四、结论
从实验结果可以看出，文中的加密高程点的方法，保证了插值结果的稳定性和合理性，并使基于TIN模型的图形处理过程更加自动化，处理结果更实用化。加密后的等高线无论是协调性还是合理性都得到了加强。
参考文献：
[1]黎夏，刘凯GIS与空间分析―原理与方法[D].北京：科学出版社，2006.8
[2]魏克让，江聪世空间数据的误差处理[D].北京：科学出版社，2003.8
